Question

如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）过点O作线段AC的垂线OE，垂足为E（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（3）若CD=4，AC=4

5

，求垂线段OE的长．

Answer 1

分析：（1）连接OC．根据切线性质可证OC∥AD；根据等腰三角形性质可证AC平分∠DAB；
（2）基本作图：作线段垂直平分线．
（3）证明△AEO与△ADC相似，得比例线段求解．

解答：（1）证明：连接OC．
∵CD切⊙O于点C，
∴OC⊥CD．
又∵AD⊥CD，
∴OC∥AD．
∴∠OCA=∠DAC．
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC．
∴∠OAC=∠DAC．
∴AC平分∠DAB．

（2）解：如图所示．

（3）解：在Rt△ACD中，CD=4，AC=4

5

，
∴AD=

AC2-CD2

=

(4 5 )2-42

=8．
∵OE⊥AC，
∴AE=2

5

．
∵∠OAE=∠CAD，∠AEO=∠ADC，
∴△AEO∽△ADC，
∴

OE

CD

=

AE

AD

．
∴OE=

AE

AD

×CD=

2 5

8

×4=

5

．
即垂线段OE的长为

5

．

点评：此题考查切线的性质、尺规作线段的垂直平分线、相似三角形的判定与性质等知识点，综合性较强，难度较大．