Question

如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=1，BC=

1

2

，以点C为圆心，CB为半径的弧交CA于点D；以点A为圆心，AD为半径的弧交AB于点E．
（1）求AE的长度；
（2）分别以点A、E为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点F（F与C在AB两侧），连接AF、EF，设EF交弧DE所在的圆于点G，连接AG，试猜想∠EAG的大小，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据在Rt△ABC中利用勾股定理求得AC，根据BC=CD，AE=AD求得AE=AC-AD即可．
（2）根据FA=FE=AB=1，求得AE可得△FAE是黄金三角形可得∠EAG=∠F=36°．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，由AB=1，BC=

1

2

，
得AC=

12+( 1 2 )2

=

5

2

，
∵以点C为圆心，CB为半径的弧交CA于点D；以点A为圆心，AD为半径的弧交AB于点E
∴BC=CD，AE=AD，
∴AE=AC-CD=

5 -1

2

；

（2）∠EAG=36°，理由如下：
∵FA=FE=AB=1，AE=

5 -1

2

，
∴

AE

FA

=

5 -1

2

，
∴△FAE是黄金三角形，
∴∠F=36°，∠AEF=72°，
∵AE=AG，
∴∠EAG=∠F=36°．

点评：本题考查了勾股定理在直角三角形中的应用，考查了相似三角形的证明和性质，本题中求证三角形相似是解题的关键．