Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CE⊥AB于点E，点D是AB上一点，且AD=AC，作DG∥BC，DG交AC于点G，交CE于点F，
求证：（1）AF平分∠CAB；   
     （2）FC=FD．

Answer 1

分析：（1）首先根据∠ACB=90°，DG∥BC，可得∠AGD=90°，然后根据∠CAE=∠DAG，AC=AD，利用ASA证明△CAE≌△DAG，可得AG=AE，然后根据HL判定Rt△AGF≌Rt△AEF，可得∠GAF=∠EAF，即AF平分∠CAB；
（2）根据SAS直接判定△ACF≌△ADF，继而可得CF=DF．

解答：证明：（1）∵∠ACB=90°，DG∥BC，
∴∠AGD=90°，
在△CAE和△DAG中，

∠CEA=∠AGD ∠CAE=∠DAG AC=AD

，
∴△CAE≌△DAG（AAS），
∴AE=AG，
在Rt△AGF和Rt△AEF中，

AG=AE AF=AF

，
∴Rt△AGF≌Rt△AEF（HL），
∴∠GAF=∠EAF，即AF平分∠CAB；

（2）在△ACF和△ADF中，

AC=AD ∠CAF=∠DAF AF=AF

，
∴△ACF≌△ADF（SAS），
∴FC=FD．

点评：本题考查了全等三角形的判定和性质，找出题目中的条件，证明三角形的全等是解答本题的关键．