题目内容

如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，OA=10cm，OC=8cm，将矩形沿直线CD折叠，使点B落在x轴上点E处．
（1）求E点坐标；
（2）将△AED沿x轴向左平移，速度为1cm/秒，设平移的时间为t（秒），且0＜t＜ $数学公式$ ，△AED与△CED重叠部分的面积为S（cm²），求S与t的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，求出S的最大值．

解（1）∵矩形ABCD，∴∠O=∠B=90°
由折叠得：BC=CE=10，0C=8
∴由勾股定理可得OE=6
∴E（6，0）

（2）设ED=BD=xcm，AD=（8-x）cm
由（1）得AE=10-6=4
∴由勾股定理得：4²+（8-x）²=x²
∴x=5∴ED=5，AD=3，AE=4
∴ $\text{[math]}$
∴当0＜t＜4时，如图①，可证△A₁QE∽△ADE，△EPE₁∽△DAE；
当4＜t＜ $\text{[math]}$ 时，如图②，可证

△D₂MN∽△EA₂N∽△DAE；
①当0≤t＜4时，AA₁=EE₁=tcm，A₁E=（4-t）cm
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
②当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
③当0＜t＜4时，t= $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；
当4 $\text{[math]}$ 时，t=4时， $\text{[math]}$ ；
∵ $\text{[math]}$ ∴ $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ．
分析：（1）利用勾股定理，则E的坐标即可得到；
（2）分当0＜t＜4和当4＜t＜ $\text{[math]}$ 两种情况进行讨论．利用三角函数即可求得阴影部分面积．
点评：此题考查了一次函数的综合，用到的知识点是一次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质，关键是分情况讨论求阴影部分面积．