Question

△ABC中，D为AC边中点，∠EDF=90°，tan∠B=

3

4

，若FC=5，EF=3

10

，则AE=

5

．

Answer 1

分析：延长ED到Q，使ED=DQ，连接CQ，FQ，过Q作QH⊥BC于H，得出EF=FQ，证△AED≌△CQD，推出AE=CQ，求出CQ∥AB，得出∠B=∠QCH，设QH=3a，CH=4a，在△QFH中，根据勾股定理求出a，即可求出CH和QH，根据勾股定理求出即可．

解答：解：
如图，延长ED到Q，使ED=DQ，连接CQ，FQ，过Q作QH⊥BC于H，
∵在△AED和△CQD中

AD=CD ∠ADE=∠CDQ ED=DQ

，
∴△AED≌△CQD（SAS），
∴AE=CQ，∠EAC=∠DCQ，
∴CQ∥AB，
∴∠QCH=∠B，
∵tanB=

3

4

，
∴tan∠QCH=

3

4

=

QH

CH

，
设QH=3a，CH=4a，
∵ED=DQ．∠EDF=90°，
∴QF=EF=3

10

，
在Rt△FQH中，由勾股定理得：（3

10

）²=FH²+QH²，CQ²=CH²+QH²，
∴（3

10

）²=（5+4a）²+（3a）²，
5a²+8a-13=0
解得：a=1，a=-

13

5

（舍去），
即CH=4，QH=3，
∵CQ²=CH²+QH²，
∴CQ=5，
即AE=5．
故答案为：5．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，线段垂直平分线性质，勾股定理，平行线的性质和判定，解直角三角形等知识点的综合运用，主要考查学生的推理能力，此题难度偏大．