Question

【题目】如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD是⊙Ｏ的切线，AD⊥CD于点D．E是AB延长线上一点，CE交⊙O于点F，连结OC，AC．

（1）求证：AC平分∠DAO．

（2）若∠DAO=105°，∠E=30°．

①求∠OCE的度数．

②若⊙O的半径为，求线段EF的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①45°；② -1

【解析】

（1）利用切线的性质可得到OC⊥CD，由此可证得AD∥OC，利用平行线的性质及等边对等角去证明∠DAC=∠OAC，由此可证得结论；

（2）①利用平行线的性质，可求出∠EOC的度数，再利用三角形内角和定理求出∠OCE的度数；②作OG⊥CE于点G，利用垂径定理可得到FG=CG，再利用解直角三角形求出CG=OG的长，在Rt△OGE中，利用勾股定理求出GE的长，然后根据EF=GE-FG即可求出EF的长.

（1）证明：∵直线CD与⊙O相切，

∴OC⊥CD，

又∵AD⊥CD，

∴AD∥OC，

∴∠DAC=∠OCA，

又∵OC=OA，

∴∠OAC=∠OCA，

∴∠DAC=∠OAC，

∴AC平分∠DAO；

（2）解：①由(1)可知AD∥OC，

∵∠DAO=105°，

∴∠EOC=∠DAO=105°，

∵∠E=30°，

∴∠OCE=45°，

②作OG⊥CE于点G，

由垂径定理可得FG=CG，

∵OC= ，∠OCE=45°，

∴CG=OG=1，

∴FG=1，

∵在Rt△OGE中，∠E=30°，

∴GE=，

∴EF=GE-FG=-1.