Question

已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，且AB⊥CD，垂足为E．
（1）求证：BC=BD；
（2）若BC=15，AD=20，求AB和CD的长．

Answer 1

分析：（1）直接根据垂径定理即可得出结论；
（2）先根据垂径定理判断出△ABD是直角三角形，再根据勾股定理求出AB的长，由

1

2

AB•DE=

1

2

AD•BD即可求出DE的长，再由CD=2DE即可得出结论．

解答：（1）证明：∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，
∴

BC

=

BD

，
∴BC=BD；

（2）解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AB=

AD2+BD2

=

202+152

=25，
∵

1

2

AB•DE=

1

2

AD•BD，
∴

1

2

×25×DE=

1

2

×20×15．
∴DE=12．
∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，
∴CD=2DE=2×12=24．

点评：本题考查的是垂径定理及勾股定理，熟知垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧是解答此题的关键．