Question

如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E、F分别是AB、CD的中点，且AC=BD．
求证：OM=ON．

Answer 1

分析：取AD的中点G，连接EG，FG，构造三角形的中位线，根据三角形的中位线定理进行证明即可．

解答：证明：
取AD的中点G，连接EG，FG，
∵G、F分别为AD、CD的中点，
∴GF是△ACD的中位线，
∴GF=

1

2

AC，
同理可得，GE=

1

2

BD，
∵AC=BD，
∴GF=GE=

1

2

AC=

1

2

BD．
∴∠GFN=∠GEM，
又∵EG∥OM，FG∥ON，
∴∠OMN=∠GEM=∠GFN=∠ONM，
∴OM=ON．

点评：本题考查了三角形的中位线性质定理，解题的关键是构造三角形的中位线．运用三角形的中位线的数量关系和位置关系进行分析证明．