Question

（2012•宝坻区二模）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为C，BE⊥CD，垂足为E．连接AC、BC．
（Ⅰ）求证：BC平分∠ABE；
（Ⅱ）若∠A=60°，OA=2，求CE的长．

Answer 1

分析：（1）利用切线的性质首先得出∠OCB=∠CBE，进而得出∠CBE=∠OBC即可求出BC平分∠ABE；
（2）首先利用锐角三角函数关系得出BC=AB•sinA=2×2×sin60°=2

3

，进而求出∠CBE=∠ABC=90°-∠A=30°，即可求出CE的长．

解答：证明：（Ⅰ）∵CD是⊙O切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCB+∠BCE=90°，
∵BE⊥CD，
∴∠CBE+∠BCE=90°，
∴∠OCB=∠CBE，
又∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠CBE=∠OBC，即BC平分∠ABE；

（Ⅱ）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，BC=AB•sinA=2×2×sin60°=2

3

，
在Rt△BCE中，∵∠CBE=∠ABC=90°-∠A=30°，
∴CE=

1

2

BC=

1

2

×2

3

=

3

．

点评：此题主要考查了切线的性质以及锐角三角函数，根据切线的性质得出∠OCB=∠CBE是解题关键．