Question

如图1，矩形ABCD中，AB=10cm，AD=6cm，在BC边上取一点E，将△ABE沿AE翻折，使点B落在DC边上的点F处．
（1）求CF和EF的长；
（2）如图2，一动点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿AF向终点F作匀速运动，过点P作PM∥EF交AE于点M，过点M作MN∥AF交EF于点N．设点P运动的时间为t（0＜t＜10），四边形PMNF的面积为S，试探究S的最大值？
（3）以A为坐标原点，AB所在直线为横轴，建立平面直角坐标系，如图3，在（2）的条件下，连接FM，若△AMF为等腰三角形，求点M的坐标．

Answer 1

分析：（1）根据翻折对称性EF=BE，AF=AB，利用勾股定理求出DF的长，CF=AB-DF，在△CEF中，设EF为x，则CE=6-x，利用勾股定理列式求解即可求出EF；
（2）根据相似三角形对应边成比例求出PM的长，矩形的面积等于PM•PF，再根据二次函数最值问题求解；
（3）因为三角形的腰不明确，分AM=MF和AM=AF两种情况讨论，①当AM=MF时，根据等腰三角形三线合一的性质点M是AE的中点，根据三角形中位线定理即可求出点M的坐标；②当AM=AF时，根据相似三角形对应边成比例求解点M的坐标．

解答：解：（1）由题意，得AB=AF=10，
∵AD=6，
∴DF=8，
∴CF=2．（2分）
设EF=x，则BE=EF=x，CE=6-x
在Rt△CEF中，2²+（6-x）²=x²
解得，x=

10

3

，
∴EF=

10

3

；（4分）

（2）∵PM∥EF，
∴△APM∽△AFE，
∴

PM

FE

=

AP

AF

即

PM

10 3

=

t

10

，
∴PM=

1

3

t，
∵PMNF是矩形，
∴S=PM•PF=

1

3

t(10-t)=-

1

3

t2+

10

3

t（6分）
∵a=-

1

3

＜0，
∴当t=-

b

2a

=5时，S最大=

25

3

；（8分）

（3）①若AM=FM，则AM=

52+( 5 3 )2

=

5

3

10

，
过点M作MG⊥AB于G，则△AMG∽△AEB，
∴AG=

1

2

AB=5，MG=

1

2

EB=

5

3

，
∴M（5，

5

3

）；（11分）
②若AM=AF=10，过点M作MH⊥AB于H，
由△AMH∽△AEB，得AH=3

10

，MH=

10

，
∴M（3

10

，

10

）．
故点M的坐标为（5，

5

3

）或（3

10

，

10

）．

点评：本题综合性较强，主要利用勾股定理，等腰三角形的性质，二次函数最值问题求解，相似三角形对应边成比例的性质，熟练掌握各定理和性质并灵活运用是解题的关键．