Question

已知a、b、c、d为不同的实数，且a、c是方程x²+ax-b=0的根，b、d是方程x²+cx+d=0根．求a、b、c、d的值．

Answer 1

分析：根据一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系得到a+c=-a①，ac=-b②，b+d=-c③，bd=d④，然后解方程组，先由④求出b，再解①②组成的方程组求的a与c的值，最后由③得到d的值．

解答：解：∵a、c是方程x²+ax-b=0的根，b、d是方程x²+cx+d=0根，
∴a+c=-a①，ac=-b②，b+d=-c③，bd=d④，
由④得b=1，（若d=0，由③得b=-c，代入②得ac=c可得c=0，a=0这与a、b、c、d为不同的实数不符或a=1代入①得
c=-2，a、c代入②得b=2，b、c代入③得d=0，即a=1，b=2，c=-2，d=0）
则ac=-1，
由①得c=-2a，
∴-2a²=-1，解得a=±

2

2

，
∴当a=

2

2

时，c=-

2

，d=-c-b=

2

-1；当a=-

2

2

时，c=

2

，d=-c-b=-

2

-1；
所以a=

2

2

，b=1，c=-

2

，d=

2

-1或a=-

2

2

，b=1，c=

2

，d=-

2

-1．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两个分别为x₁，x₂，则有x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．