题目内容
如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C．（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，
①设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求出当△CEF与△COD相似时，点P的坐标；
②是否存在一点P，使△PCD得面积最大？若存在，求出△PCD的面积的最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】分析：（1）先求出A、B、C的坐标，再运用待定系数法就可以直接求出二次函数的解析式；
（2）①由（1）的解析式可以求出抛物线的对称轴，分类讨论当∠CEF=90°时，当∠CFE=90°时，根据相似三角形的性质就可以求出P点的坐标；
②先运用待定系数法求出直线CD的解析式，设PM与CD的交点为N，根据CD的解析式表示出点N的坐标，再根据S△PCD=S△PCN+S△PDN就可以表示出三角形PCD的面积，运用顶点式就可以求出结论．
解答：解：（1）在Rt△AOB中，OA=1，tan∠BAO=
=3，
∴OB=3OA=3．
∵△DOC是由△AOB绕点O逆时针旋转90°而得到的，
∴△DOC≌△AOB，
∴OC=OB=3，OD=OA=1，
∴A、B、C的坐标分别为（1，0），（0，3）（-3，0）．
代入解析式为
，
解得：
．
∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3；
（2）①∵抛物线的解析式为y=-x2-2x+3，
∴对称轴l=-
=-1，
∴E点的坐标为（-1，0）．
如图，当∠CEF=90°时，△CEF∽△COD．此时点P在对称轴上，即点P为抛物线的顶点，P（-1，4）；
当∠CFE=90°时，△CFE∽△COD，过点P作PM⊥x轴于点M，则△EFC∽△EMP．
∴
，
∴MP=3EM．
∵P的横坐标为t，
∴P（t，-t2-2t+3）．
∵P在二象限，
∴PM=-t2-2t+3，EM=-1-t，
∴-t2-2t+3=3（-1-t），
解得：t1=-2，t2=-3（与C重合，舍去），
∴t=-2时，y=-（-2）2-2×（-2）+3=3．
∴P（-2，3）．
∴当△CEF与△COD相似时，P点的坐标为：（-1，4）或（-2，3）；
②设直线CD的解析式为y=kx+b，由题意，得
，
解得：
，
∴直线CD的解析式为：y=
x+1．
设PM与CD的交点为N，则点N的坐标为（t，
t+1），
∴NM=
t+1．
∴PN=PM-NM=t2-2t+3-（
t+1）=-t2-
+2．
∵S△PCD=S△PCN+S△PDN，
∴S△PCD=
PN•CM+
PN•OM
=
PN（CM+OM）
=
PN•OC
=
×3（-t2-
+2）
=-
（t+
）2+
，
∴当t=-
时，S△PCD的最大值为
．
点评：本题考查了相似三角形的判定及性质的运用，待定系数法求函数的解析式的运用，三角形的面积公式的运用，二次函数的顶点式的运用，解答本题时，先求出二次函数的解析式是关键，用函数关系式表示出△PCD的面积由顶点式求最大值是难点．
（2）①由（1）的解析式可以求出抛物线的对称轴，分类讨论当∠CEF=90°时，当∠CFE=90°时，根据相似三角形的性质就可以求出P点的坐标；
②先运用待定系数法求出直线CD的解析式，设PM与CD的交点为N，根据CD的解析式表示出点N的坐标，再根据S△PCD=S△PCN+S△PDN就可以表示出三角形PCD的面积，运用顶点式就可以求出结论．
解答：解：（1）在Rt△AOB中，OA=1，tan∠BAO=
=3，∴OB=3OA=3．
∵△DOC是由△AOB绕点O逆时针旋转90°而得到的，
∴△DOC≌△AOB，
∴OC=OB=3，OD=OA=1，
∴A、B、C的坐标分别为（1，0），（0，3）（-3，0）．
代入解析式为
，解得：
．∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3；
（2）①∵抛物线的解析式为y=-x2-2x+3，
∴对称轴l=-
=-1，∴E点的坐标为（-1，0）．
如图，当∠CEF=90°时，△CEF∽△COD．此时点P在对称轴上，即点P为抛物线的顶点，P（-1，4）；
当∠CFE=90°时，△CFE∽△COD，过点P作PM⊥x轴于点M，则△EFC∽△EMP．
∴
，∴MP=3EM．
∵P的横坐标为t，
∴P（t，-t2-2t+3）．
∵P在二象限，
∴PM=-t2-2t+3，EM=-1-t，
∴-t2-2t+3=3（-1-t），
解得：t1=-2，t2=-3（与C重合，舍去），
∴t=-2时，y=-（-2）2-2×（-2）+3=3．
∴P（-2，3）．
∴当△CEF与△COD相似时，P点的坐标为：（-1，4）或（-2，3）；
②设直线CD的解析式为y=kx+b，由题意，得
，解得：
，∴直线CD的解析式为：y=
x+1．设PM与CD的交点为N，则点N的坐标为（t，
t+1），∴NM=
t+1．∴PN=PM-NM=t2-2t+3-（
t+1）=-t2-+2．∵S△PCD=S△PCN+S△PDN，
∴S△PCD=
PN•CM+PN•OM=
PN（CM+OM）=
PN•OC=
×3（-t2-+2）=-
（t+）2+，∴当t=-
时，S△PCD的最大值为．点评：本题考查了相似三角形的判定及性质的运用，待定系数法求函数的解析式的运用，三角形的面积公式的运用，二次函数的顶点式的运用，解答本题时，先求出二次函数的解析式是关键，用函数关系式表示出△PCD的面积由顶点式求最大值是难点．
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