Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点坐标为，点在边上从点运动到点，以为边作正方形，连，在点运动过程中，请探究以下问题：

（1）的面积是否改变，如果不变，求出该定值;如果改变，请说明理由;

（2）若为等腰三角形，求此时正方形的边长.

Answer 1

【答案】（1）不变，；(2)正方形ADEF的边长为或或.

【解析】

(1)作交延长线于，证明，从而可得 ，继而根据三角形面积公式进行计算即可；

(2)分、、三种情况分别讨论求解即可.

(1)作交延长线于，

∵正方形中，，，

∴，

∵，∴，

∴，

∵矩形中，，

∴，∴，

∴，

∴；

(2)①当时，作 ，

∵正方形中，，

∴，∴，

同(1)可得≌，

∴， ∴，

∴；

②当时，，

∵正方形中，，，

∴，∴≌，

∴，

∵矩形中，，

∴ ；

③当时，作，

同理得， ，

∴；

综上，正方形ADEF的边长为或或.