题目内容

已知一次函数y₁=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数 $数学公式$ （m≠0）的图象交于A（-2，1）、B（1，n）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式，求出点B的坐标；
（2）在同一坐标系中画出两个函数的图象的示意图，并观察图象回答：当x为何值时，y₁＞y₂？______
（3）已知点C（1，0），求出△ABC的面积．
（4）在BC上是否存在一点E，使得直线AE将△ABC的面积二等分？如果存在请你画出这条直线，求出点E的坐标；如果不存在，请简单说明理由．

解：（1）点A（-2，1）在反比例函数y= $\text{[math]}$ 的图象上，
∴m=（-2）×1=-2，
∴反比例函数的表达式为y₂=- $\text{[math]}$ ；
∵点B（1，n）也在反比例函数y₂=- $\text{[math]}$ 的图象上，
∴n=-2即B（1，-2），
把点A（-2，1），点B（1，-2）代入一次函数y₁=kx+b中，得 $\text{[math]}$
解得 $\text{[math]}$ ，
∴一次函数的表达式为y₁=-x-1；
∴反比例函数解析式为y₂=- $\text{[math]}$ ，一次函数得到解析式为y₁=-x-1，B（1，-2）；

（2）函数图象如图所示：

∵由函数图象可知，当x＜-2或0＜x＜1时，一次函数
的图象在反比例函数图象的上方，
∴当x＜-2或0＜x＜1时y₁＞y₂．
故答案为：x＜-2或0＜x＜1；

（3）由图可知，S_△ABC= $\text{[math]}$ ×2×3=3；

（4）存在．
设线段BC两点的中点为E，
∵B（1，-2），C（1，0），
∴E（1，-1）．
∵由于等底等高的三角形面积相等，
∴S_△AEC=S_△AEB= $\text{[math]}$ S_△ABC．
分析：（1）把点A坐标代入反比例函数求出m的值，也就求出了反比例函数解析式，再把点B的坐标代入反比例函数解析式求出n的值，得到点B的坐标，然后利用待定系数法即可求出一次函数解析式；
（2）根据题意画出函数图象，再根据数形结合可直接得出结论；
（3）直接根据三角形的面积可得出结论；
（4）设线段BC两点的中点为E，求出E点坐标即可．
点评：本题考查的是反比例函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式、利用数形结合求不等式的取值范围等知识，难度适中．