Question

如图，现有两块全等的直角三角形纸板Ⅰ，Ⅱ，它们两直角边的长分别为1和2．将它们分别放置于平面直角坐标系中的△AOB，△COD处，直角边OB，OD在x轴上．一直尺从上方紧靠两纸板放置，让纸板Ⅰ沿直尺边缘平行移动．当纸板Ⅰ移动至△PEF处时，设PE，PF与OC分别交于点M，N，与x轴分别交于点G，H．

(1)求直线AC所对应的函数关系式；

(2)当点P是线段AC(端点除外)上的动点时，试探究：

①点M到x轴的距离h与线段BH的长是否总相等？请说明理由；

②两块纸板重叠部分(图中的阴影部分)的面积S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及S取最大值时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由直角三角形纸板的两直角边的长为1和2，知两点的坐标分别为． 　　设直线所对应的函数关系式为．2分 　　有解得 　　所以，直线所对应的函数关系式为．4分 　　(2)①点到轴距离与线段的长总相等． 　　因为点的坐标为， 　　所以，直线所对应的函数关系式为． 　　又因为点在直线上， 　　所以可设点的坐标为． 　　过点作轴的垂线，设垂足为点，则有． 　　因为点在直线上，所以有．6分 　　因为纸板为平行移动，故有，即． 　　又，所以． 　　法一：故， 　　从而有． 　　得，． 　　所以． 　　又有．8分 　　所以，得，而， 　　从而总有．10分 　　法二：故，可得． 　　故． 　　所以． 　　故点坐标为． 　　设直线所对应的函数关系式为， 　　则有解得 　　所以，直线所对的函数关系式为．8分 　　将点的坐标代入，可得．解得． 　　而，从而总有．10分 　　②由①知，点的坐标为，点的坐标为． 　　 　　．12分 　　当时，有最大值，最大值为． 　　取最大值时点的坐标为．14分