题目内容
【题目】如图，一次函数y=﹣ 
x+1的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为边在第一象限作等边△ABC．
（1）若点C在反比例函数y= 
的图象上，求该反比例函数的解析式；
（2）点P（2 
，m）在第一象限，过点P作x轴的垂线，垂足为D，当△PAD与△OAB相似时，P点是否在（1）中反比例函数图象上？如果在，求出P点坐标；如果不在，请加以说明．
【答案】
（1）
解：在y=﹣ 
x+1中，令y=0可解得x= 
，令x=0可得y=1，
∴A（ ，0），B（0，1），
∴tan∠BAO= 
= 
= ，
∴∠BAO=30°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∴∠CAO=90°，
在Rt△BOA中，由勾股定理可得AB=2，
∴AC=2，
∴C（ ，2），
∵点C在反比例函数y= 
的图象上，
∴k=2× =2 ，
∴反比例函数解析式为y= 
（2）
解：∵P（2 ，m）在第一象限，
∴AD=OD﹣OA=2 ﹣ = ，PD=m，
当△ADP∽△AOB时，则有 
= 
，即 
= 
，解得m=1，此时P点坐标为（2 ，1）；
当△PDA∽△AOB时，则有 
= 
，即 
= 
，解得m=3，此时P点坐标为（2 ，3）；
把P（2 ，3）代入y= 可得3≠ 
，
∴P（2 ，3）不在反比例函数图象上，
把P（2 ，1）代入反比例函数解析式得1= ，
∴P（2 ，1）在反比例函数图象上；
综上可知P点坐标为（2 ，1）
【解析】（1）由直线解析式可求得A、B坐标，在Rt△AOB中，利用三角函数定义可求得∠BAO=30°，且可求得AB的长，从而可求得CA⊥OA，则可求得C点坐标，利用待定系数法可求得反比例函数解析式；（2）分△PAD∽△ABO和△PAD∽△BAO两种情况，分别利用相似三角形的性质可求得m的值，可求得P点坐标，代入反比例函数解析式进行验证即可．
【考点精析】本题主要考查了一次函数的性质的相关知识点，需要掌握一般地，一次函数y=kx+b有下列性质：（1）当k>0时，y随x的增大而增大（2）当k<0时，y随x的增大而减小才能正确解答此题．
