Question

如图，平面直角坐标系中，四边形AOBC为平行四边形，y₁=k₁x+b与双曲线y₂=

k2

x

（x＞0）交于点A（1，3）和点E（3，m）．
（1）求k₁，k₂和b的值；
（2）直接写出y₁-y₂＜0时x的取值范围；
（3）如果平行四边形AOBC的对角线OC交双曲线于点P，求点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）把点A（1，3）和点E（3，m）分别代入y₂=

k2

x

（x＞0），得：k₂=3，进而得出m的值和k₁的值；
（2）利用图象得出y₁-y₂＜0时x的取值范围；
（3）由（1）得：直线y₁=-x+4令y=0，得：x=4，则B（4，0），再由平行四边形的性质可求出C（5，3），再由待定系数法可求出直线OC的解析式为：y=

3

5

x，进而与反比函数解析式联立求出P点坐标．

解答：解：（1）把点A（1，3）和点E（3，m）分别代入y₂=

k2

x

（x＞0），得：k₂=3，
∴3m=3，
解得：m=1，
把A（1，3）和E（3，1）分别代入y₁=k₁x+b，得 

k1+b=3 3k1+b=1

，
解得：

k1=-1 b=4

；

（2）观察图象可知，当y₁-y₂＜0时，即y₁＜y₂，
x的取值范围是：0＜x＜1或x＞3；

（3）由（1）得：
直线y₁=-x+4令y=0，得：x=4，
∴B（4，0），再由平行四边形的性质可求出C（5，3），
将（5，3）代入y=kx得；5k=3，
解得：k=

3

5

，
∴直线OC的解析式为：y=

3

5

x，
解方程组

y= 3 x y= 3 5 x

   
得：

x= 5 y= 3 5 5

  或

x=- 5 y=- 3 5 5

（舍去）
∴点P的坐标为（

5

，

3

5

5

）．

点评：此题主要考查了反比函数的综合应用，方法总结两个函数的图象的交点坐标适合这两个函数的解析式，可用待定系数法求出两个解析式．求两个函数图象的交点坐标，一般让两个函数的解析式联立成方程组，再解这个方程组即可．