Question

如图，正方形ABCD边长为1，当M,N分别在BC,CD上，使得△CMN的周长为2，

①试证明∠NAM=45°②试求△AMN的面积最小值.

Answer 1

解：（1）如图:延长CB到L,使BL=DN.则Rt△ABL≌Rt△ADN.

故AL=AN,∠LAB=∠NAD,∠NAL=∠DAB=90°。

又MN=2-CN-CM=1-CN+1-CM=DN+BM=BL+BM=ML

且AM为公共边，则△AMN≌△AML.

故∠AMN=∠MAL=1/2×90°=45°（5分）

（2）设CM=x,CN=y,MN=z.则

x+y+z=2,x2+y2=z2

把x消去，得：（2-y-z)2+y2=z2,即

2y2+(2z-4)y+(4-4z)=0

因y>0,考虑其判别式△=4（z-2)2-32(1-z)≥0

所以,

又z>0,则z≥.

当且仅当x=y=时，上式等号成立。

注意到

故△AMN面积最小值为（6分）