Question

如图，O为坐标原点，P（m，n）（m＞0）是函数y=

k

x

（k＞0）的图象上的一点，过点P作直线PA⊥OP于P，直线PA与x轴的正半轴交于点A（a，0）（a＞m），△OPA的面积为S，且S=1+

n4

4

．
（1）当n=1时，求点A的坐标；
（2）若OP=AP，求k的值；
（3）若已知k=2，请问OP²是否有最小值？若有，请求出OP²的最小值；若没有，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）当n=1时，根据三角形的面积即可求得a的值，从而写出点A的坐标；
（2）根据等腰直角三角形的性质得到m=n，OA=2n．再根据三角形的面积得到关于k的方程，求解；
（3）根据k=2，得n=

2

m

，再根据勾股定理用m表示OP²，利用配方法求得其最小值．

解答：解：（1）n=1时，S=

1

2

an=

1

2

a=

5

4

，
所以a=

5

2

，
所以A（

5

2

，0）．（2分）

（2）∵OP=AP，∠OPA=90°，
∴△OPA为等腰直角三角形．
∴OA=2n，m=n，
∴S=

1

2

2nn=n²，
∴n²=1+

n4

4

（4分），
∵mn=k，
∴n²=k，
得k=1+

k2

4

，
k²-4k+4=0，（5分）
∴k=2；                                            （6分）

（3）∵n=

2

m

，
∴OP²=m²+n²=m²+(

2

m

)2（7分）
=(m-

2

m

)2+4．（8分）
当m-

2

m

=0时，OP²有最小值，最小值是4．           （9分）

点评：此题综合考查了等腰直角三角形的性质、三角形的面积公式、勾股定理以及配方法．