题目内容

已知，抛物线y=ax²+bx+c过点A（-3，0），B（1，0）， $数学公式$ ，此抛物线的顶点为D．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）把△ABC绕AB的中点M旋转180°，得到四边形AEBC．
①求E点的坐标；
②试判断四边形AEBC的形状，并说明理由．
（3）试探求：在直线BC上是否存在一点P，使得△PAD的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵y=ax²+bx+c过C（0， $\text{[math]}$ ），
∴ $\text{[math]}$ ，
又y=ax²+bx+c过点A（-3，0）、B（1，0），
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴此抛物线的解析式为 $\text{[math]}$ ；

（2）①△ABC绕AB的中点M旋转180°．可知点E和点C关于点M对称，
∴M（-2，0），C（0， $\text{[math]}$ ），
∴E（-2，- $\text{[math]}$ ）；
②四边形AEBC是矩形．
∵△ABC绕AB的中点M旋转180°得到四边形AEBC，
∴△ABC≌△AEB
∴AC=EB，AE=BC
∴AEBC是平行四边形
在Rt△ACO中，OC= $\text{[math]}$ ，OA=3，
∴∠CAB=30°，
∵AEBC是平行四边形，
∴AC∥BE，
∴∠ABE=30°，
在Rt△COB中，
∵OC= $\text{[math]}$ ，OB=1，
∴∠CBO=60°
∴∠CBE=∠CBO+∠ABE=60°+30°=90°
ABEC是矩形；

（3）假设在直线BC上存在一点P，使△PAD的周长最小．
因为AD为定值，所以使△PAD的周长最小，就是PA+PD最小；
∵AEBC是矩形，
∴∠ACB=90°．
∴A（-3，0）关于点C（0， $\text{[math]}$ ）的对称点A₁（3，2 $\text{[math]}$ ）．
点A与点A₁也关于直线BC对称．
连接A₁D，与直线BC相交于点P，连接PA，则△PAD的周长最小．
∵B（1，0）、C（0， $\text{[math]}$ ）
∴BC的解析式为 $\text{[math]}$
∵A₁（3，2 $\text{[math]}$ ）、D（-1， $\text{[math]}$ ）
∴A₁D的解析式为 $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴P的坐标为（ $\text{[math]}$ ）．
分析：（1）由于抛物线y=ax²+bx+c过点A（-3，0），B（1，0）， $\text{[math]}$ ，利用待定系数法即可确定抛物线的解析式；
（2）①由于△ABC绕AB的中点M旋转180°，可知点E和点C关于点M对称，由此利用已知条件即可求出E的坐标；
②四边形AEBC是矩形．根据旋转可以得到△ABC≌△AEB，再根据全等三角形的性质得到AC=EB，AE=BC，接着证明AEBC是平行四边形，而在Rt△ACO中，OC= $\text{[math]}$ ，OA=3，由此得到∠CAB=30°，再利用评选四边形的性质得到∠ABE=30°，最后在Rt△COB中利用三角函数求出∠CBO=60°，接着就可以证明∠CBE=90°，这样就可以证明四边形ABEC是矩形；（3）首先假设在直线BC上存在一点P，使△PAD的周长最小．由于AD为定值，所以使△PAD的周长最小，就是PA+PD最小，而根据四边形AEBC是矩形可以得到A（-3，0）关于点C（0， $\text{[math]}$ ）的对称点A₁（3，2 $\text{[math]}$ ），点A与点A₁也关于直线BC对称．连接A₁D，与直线BC相交于点P，连接PA，则△PAD的周长最小．接着利用待定系数法求出BC、A₁D的解析式，接着联立解析式解方程组即可P的坐标．
点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法确定函数的解析式、轴对称图形的性质的应用、中心对称图形的性质及直线的交点与它们解析式组成方程组的解的关系，综合性很强，对于学生的能力的要求比较高，平时加强训练．