Question

【题目】我们知道，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．对一个各条边都相等的凸多边形（边数大于3），可以由若干条对角线相等判定它是正多边形．例如，各条边都相等的凸四边形，若两条对角线相等，则这个四边形是正方形．

（1）已知凸五边形的各条边都相等．

①如图1，若，求证：五边形是正五边形；

②如图2，若，请判断五边形是不是正五边形，并说明理由：

（2）判断下列命题的真假．（在括号内填写“真”或“假”）

如图3，已知凸六边形的各条边都相等．

①若，则六边形是正六边形；（　 　）

②若，则六边形是正六边形． （　 　）

Answer 1

【答案】（1）①证明见解析②若，五边形是正五边形（2）①真命题②真命题

【解析】

（1）①用SSS证明，得到，即可得证；

②先证，再证明，再根据四边形的内角和与平行的性质证得即可得证；

（2）①先证，设，，根据x,y的等量关系求出，，从而求出，故可得到结论；

②连接、、，先证，再证，得到，再由①可得出结论.

（1）①证明：∵凸五边形的各条边都相等，

∴，

在、、、、中，，

∴，

∴，

∴五边形是正五边形；

②解：若，五边形是正五边形，理由如下：

在、和中，，

∴，

∴，，

在和中，，

∴，

∴，，

∵四边形内角和为，

∴，

∴，

∴，，

∴，

∴，

同理：，

∴五边形是正五边形；

（2）解：①若，如图3所示：

则六边形是正六边形；真命题；理由如下：

∵凸六边形的各条边都相等，

∴，

在、和中，，

∴，

∴，，

∵，

∴，

设，，

则①，②，

①+②得：，

∴，，

∴，，

∴，

∴，

∴六边形是正六边形；

故答案为：真；

②若，则六边形是正六边形；真命题；理由如下：

如图4所示：连接、、，

在和中，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

在和中，，

∴，

∴，

同理：，

∴，

由①得：六边形是正六边形；

故答案为：真．