Question

如图1，BD为矩形ABCD的对角线，∠DBC的平分线BE交DC于点E，DK⊥BE交BE的延长线于K．
（1）若tan∠DBC=

4

3

，求证：BE=

3

2

DK．
（2）如图2，在（1）的条件下，∠BED绕点E顺时针旋转至∠B′ED′，∠B′ED′的两边分别交BD、DK于点I、L，若已知：DL：LK=5：3，IL=5，求IB的长？

Answer 1

分析：（1）延长DK、BC交于点F，可证明△BKD≌△BKF，由全等三角形的性质可得DK=FK，再通过证明△BEC∽△DCF，由相似三角形的性质可得

DF

BE

=

DC

BC

，又因为tan∠DBC=

DC

BC

=

4

3

，所以BE=

3

4

DF=

3

4

×2DF=

3

2

DF；
（2）设DL=5a，则KL=3a，所以DK=8a，所以BE=

3

2

DK=12a，又∠EDK=∠EBC=∠DBE，所以tan∠EDK=∠DBK，所以

DK

BK

=

EK

DK

即

EK

8a

=

8a

EK+12a

，进而求出EK=4a，所以DE=4

5

a，而tan∠EBC=tan∠EDK，再通过证明△DIL∽△DBK，即可求出a的值，从而求出IB的长．

解答：解：（1）延长DK、BC交于点F，
∵BK⊥DK，∴∠BKD=∠BKF=90°，
又∵BE平分∠DBC，
∴∠DBK=∠FBK，
 又∵BK=BK，
在△BKD和△BKF中，

∠BKD=∠BKF=90° ∠DBK=∠FBK  BK=BK

，
∴△BKD≌△BKF，
∴DK=FK，
又∵∠BCE=∠DCF=90°，∠CBE+∠BEC=90°，∠DEK+∠EDK=90°，
而∠BEC=∠DEK，
∴∠CBE=∠CDF，
∴△BEC∽△DCF，
∴

DF

BE

=

DC

BC

，
又∵tan∠DBC=

DC

BC

=

4

3

，
∴BE=

3

4

DF=

3

4

×2DF=

3

2

DF；

（2）设DL=5a  则KL=3a，
∴DK=8a，
∴BE=

3

2

DK=12a，
又∠EDK=∠EBC=∠DBE，
∴tan∠EDK=∠DBK，
∴

DK

BK

=

EK

DK

即

EK

8a

=

8a

EK+12a

，
∴EK=4a，EK=12a（舍去），
∴DE=4

5

a，
 而tan∠EBC=tan∠EDK，
∴

EC

BE

=

EK

DK

=

4a

8a

=

1

2

，
∴BC=2EC，
∴EC=

12

5

5

a，BC=

24

5

5

a，
∴CD=

32

5

5

a，BD=8

5

a，
∵∠BED=∠IEL，
∴∠BEI=∠DEL，
 又∵∠IBE=∠LDE，
∴△DLE∽△LDE，
∴

BI

DL

=

BE

DE

，
∴

BI

5a

=

12a

4 5 a

，
∴BI=3

5

a，
∴DI=5

5

a，
∴

DI

DB

=

5

8

=

DL

DK

，
∵△IDL≌△BDK，
∴△DIL∽△DBK，
∴

IL

BE

=

DI

DK

=

5

8

，
∴BE=8 即16a=8，
∴a=

1

2

，
∴BI=3

5

a=

3

2

5

．

点评：本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及锐角三角函数的应用，题目的综合性强，计算量很大，对学生的综合解题能力要求很高．