Question

在平面直角坐标系中，以点A（3，0）为圆心，5为半径的圆与轴相交于点、（点B在点C的左边），与轴相交于点D、M（点D在点M的下方）．

1.（1）求以直线x=3为对称轴，且经过D、C两点的抛物线的解析式；

2.（2）若E为直线x=3上的任一点，则在抛物线上是否存在

这样的点F，使得以点B、C、E、F为顶点的四边形是平

行四边形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由． 

 

Answer 1

 

1.解：（1）如图，∵ 圆以点A（3,0）为圆心，5为半径，

        ∴ 根据圆的对称性可知 B（－2，0），C（8，0）．

      连结．

在Rt△AOD中，∠AOD=90°，OA=3，AD=5，

∴ OD=4．

    ∴ 点D的坐标为（0,－4）．

    设抛物线的解析式为，

 又 ∵抛物线经过点C（8，0），且对称轴为，

    ∴       解得  

    ∴所求的抛物线的解析式为 ．---------------------------------2分

2.（2）存在符合条件的点F，使得以点B、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形．

分两种情况．

Ⅰ：当BC为平行四边形的一边时，

 必有 ∥，且EF =BC=10．

∴ 由抛物线的对称性可知，

存在平行四边形和平行四边形．如（图1）．

∵E点在抛物线的对称轴上，∴设点E为（3，），且＞0．

         则F₁（－7，t），F₂（13，t）．

将点F₁、F₂分别代入抛物线的解析式，解得 ．

∴点的坐标为或．

Ⅱ：当BC为平行四边形的对角线时，

必有AE=AF，如（图2）．

∵ 点F在抛物线上，∴ 点F必为抛物线的顶点．

由，

知抛物线的顶点坐标是（，）．

∴此时点的坐标为．

∴ 在抛物线上存在点F，使得以点B、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形．

满足条件的点F的坐标分别为：，，．

----------------------------------------------------8分

解析:略