Question

【题目】已知直线PD垂直平分⊙O的半径OA于点B，PD交⊙O于点C，D，PE是⊙O的切线，E为切点，连结AE，交CD于点F

（1）若⊙O的半径为8，求CD的长；

（2）证明：PE=PF；

（3）若PF=13，sinA=，求EF的长．

Answer 1

【答案】（1）CD=8；（2）证明见解析；（3）EF=10.

【解析】

（1）首先连接OD，由直线PD垂直平分⊙O的半径OA于点B，⊙O的半径为8，可求得OB的长，又由勾股定理，可求得BD的长，然后由垂径定理，求得CD的长．

（2）由PE是⊙O的切线，易证得∠PEF=90°-∠AEO，∠PFE=∠AFB=90°-∠A，继而可证得∠PEF=∠PFE，根据等角对等边的性质，可得PE=PF．

（3）首先过点P作PG⊥EF于点G，易得∠FPG=∠A，即可得FG=PFsinA=13×=5，又由等腰三角形的性质，求得答案．

解：（1）连接OD，

∵直线PD垂直平分⊙O的半径OA于点B，⊙O的半径为8，

∴OB=OA=4，BC=BD=CD．

∴在Rt△OBD中，．

∴CD=2BD=8．

（2）证明：

∵PE是⊙O的切线，

∴∠PEO=90°．

∴∠PEF=90°－∠AEO，∠PFE=∠AFB=90°－∠A．

∵OE=OA，

∴∠A=∠AEO．

∴∠PEF=∠PFE．

∴PE=PF．

（3）过点P作PG⊥EF于点G，

∴∠PGF=∠ABF=90°．

∵∠PFG=∠AFB，

∴∠FPG=∠A．

∴FG=PFsinA=13×=5．

∵PE=PF，∴EF=2FG=10．