Question

【题目】定义：有一个内角为90°，且对角线相等的四边形称为准矩形．

（1）①如图1，准矩形ABCD中，∠ABC=90°，若AB=2，BC=3，则BD=；
②如图2，直角坐标系中，A（0，3），B（5，0），若整点P使得四边形AOBP是准矩形，则点P的坐标是；（整点指横坐标、纵坐标都为整数的点）
（2）如图3，正方形ABCD中，点E、F分别是边AD、AB上的点，且CF⊥BE，求证：四边形BCEF是准矩形；
（3）已知，准矩形ABCD中，∠ABC=90°，∠BAC=60°，AB=2，当△ADC为等腰三角形时，请直接写出这个准矩形的面积是 ．

Answer 1

【答案】
（1）,（5,3）,（3,5）
（2）解：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC∠A=∠ABC=90°，

∴∠EAF+∠EBC=90°，

∵BE⊥CF，

∴∠EBC+∠BCF=90°，

∴∠EBF=∠BCF，

∴△ABE≌△BCF，

∴BE=CF，

∴四边形BCEF是准矩形

（3） ； ；
【解析】（1）①∵∠ABC=90，

∴BD= ，

故答案为 ，

②∵A（0，3），B（5，0），

∴AB= =，

设点P（m，n），A（0，0），

∴OP= =，

∵m，n都为整数，

∴点P（3，5）或（5，3）；

故答案为P（3，5）或（5，3）；

（ 3 ） ； ；

∵∠ABC=90°，∠BAC=60°，AB=2，

∴BC=2 ，AC=4，

准矩形ABCD中，BD=AC=4，

①当AC=AD时，如图1，作DE⊥AB，

∴AE=BE AB=1，

∴DE= ，

∴S准矩形ABCD=S△ADE+S梯形BCDE

= DE×AE+ （BC+DE）×BE

= × + （2 + ）×1

= + ；

②当AC=CD时，如图2，

作DF⊥BC，

∴BD=CD，

∴BF=CF= BC= ，

∴DF= ，

∴S准矩形ABCD=S△DCF+S梯形ABFD

= FC×DF+ （AB+DF）×BF

= × × + （2+ ）×

= + ；

③当AD=CD，如图3，

连接AC中点和D并延长，连接BG，过B作BH⊥DG，

∴BD=CD=AC=4，

∴AG= AC=2，

∵AB=2，

∴AB=AG，

∵∠BAC=60°，

∴∠ABG=60°，

∴∠CBG=30°

在Rt△BHG中，BG=2，∠BGH=30°，

∴BH=1，

在Rt△BHM中，BH=1，∠CBH=30°，

∴BM= ，HM= ，

∴CM= ，

在Rt△DHB中，BH=1，BD=4，

∴DH= ，∴DM=DH﹣MH= ﹣ ，

∴S准矩形ABCD=S△DCF+S四边形AMCD

= BM×AB+ AC×DM

= × ×2+ ×4×（ ﹣ ）

=2 ；

故答案为 ； ； ．

（1）①中易由勾股定理可得AC=，再由准矩形定义易得BD=AC=
②中由勾股定理可得AB=，所以OP=，又m,n为整数，可得P点只能为（3，5）或（5，3）。
（2）由准矩形定义只需证有一个直角以及对角线相等即可，由于有正方形ABCD可得∠FBC=90°；所以只需证对角线相等，由正方形性质易得△ABE≌△BCF，证得BE=CF，准矩形得证。
（3）由准矩形ABCD中，∠ABC=90°可知，只需证明对角线相等即可，又由△ADC为等腰三角形时所以需要分情况讨论，即AD=AC；CD=CA；DA=DC三种情况，又∠BAC=60°，AB=2；所以由割补法，可计算得到共有三种结果。