Question

已知抛物线y=ax²+bx+3，与x轴交于A（-3，0）、B（1，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）在平面直角坐标系中，是否存在点D，是以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）在抛物线的对称轴l上存在点Q，使△ACQ为直角三角形，请求出点Q的坐标．

Answer 1

分析：（1）将A（-3，0）、B（1，0）分别代入y=ax²+bx+3，组成关于a、b的方程组，解方程组即可求出a、b的值，从而得到二次函数解析式；
（2）根据题意画出图形，根据平行四边形的性质及AB的长为4，OC=3，即可轻松得出点D的坐标；
（3）抛物线y=-x²-2x+3与y轴的交点C的坐标为（0，3），设点Q的坐标为（-1，m），然后分三种情况讨论①若∠QAC=90°，△AEQ∽△COA，利用相似三角形的性质解答；②若∠QCA=90°，由△QFC∽△COA，利用相似三角形的性质解答；③若∠CQA=90°，作O₁G⊥l于点G，则QG=|m-

3

2

|，O₁G=

1

2

，
由勾股定理得到关于m的方程，解方程求出m的值．

解答：解：（1）依题意，得

0=a+b+3 0=9a-3b+3

，
解得，

a=-1 b=-2

，（2分）
抛物线的解析式为y=-x²-2x+3，
顶点坐标为（-1，4）；

（2）如图，∵AB=4，OC=3，
∴CD₁=CD₂=AB=4，
D的坐标为D₁（-4，3），D₂（4，3），
∵D₃E=OC=3，AE=OB，可得E点坐标为（-2，0），
∴D₃（-2，-3）； 

（3）抛物线y=-x²-2x+3与y轴的交点C的坐标为（0，3），
设点Q的坐标为（-1，m），
①若∠QAC=90°，如图1，设抛物线的对称轴与x轴的交点
为E，则E（-1，0），则AE=2，EQ=-m，
由△AEQ∽△COA，得

EQ

AO

=

AE

OC

，
∴

-m

3

=

2

3

，
∴m=-2，
∴点Q的坐标为（-1，-2）；                       
②若∠QCA=90°，如图2，作QF⊥y轴于点F，则QF=1，FC=m-3，
由△QFC∽△COA，得

FQ

CO

=

CF

OA

，
∴

1

3

=

m-3

3

，
∴m=4，
∴点Q的坐标为（-1，4）；                          
③若∠CQA=90°，如图3，设AC的中点为O₁，则O₁的坐标为(-

3

2

，

3

2

)，作O₁G⊥l于点G，则QG=|m-

3

2

|，O₁G=

1

2

，
由勾股定理得，O1Q2=QG2+O1G2=

1

4

+m2-3m+

9

4

=m2-3m+

5

2

，
∵O1Q=

1

2

AC=

3

2

2

，
∴m2-3m+

5

2

=

9

2

，
解得，m=

3± 17

2

，
∴点Q的坐标为(-1，

3+ 17

2

)，(-1，

3- 17

2

)； 
综上所述，使△ACQ为直角三角形，点Q的坐标为
（-1，-2）、（-1，4）、(-1，

3+ 17

2

)或(-1，

3- 17

2

)．

点评：本题考查了二次函数综合题，涉及求函数解析式、平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，要注意分类讨论的作用．