Question

如图，在△ABC中，∠A=60°，BE⊥AC，垂足为E，CF⊥AB，垂足为F，点D是BC的中点，BE，CF交于点M．
（1）如果AB=AC，求证：△DEF是等边三角形；
（2）如果AB≠AC，试猜想△DEF是不是等边三角形？如果△DEF是等边三角形，请加以证明；如果△DEF不是等边三角形，请说明理由；
（3）如果CM=4，FM=5，求BE的长度．

Answer 1

分析：（1）先判定△ABC是等边三角形，再根据等腰三角形三线合一的性质可得EF=ED=DF，从而可得△DEF是等边三角形；
（2）先根据直角三角形两锐角互余的性质求出∠ABE=∠ACF=30°，再根据三角形的内角和定理求出∠BCF+∠CBE=60°，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BDF+∠CDE=120°，从而得到∠EDF=60°，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE=DF，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形即可证明；
（3）根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可得BM=2FM，ME=

1

2

CM，然后代入数据进行计算即可求解．

解答：（1）证明：∵∠A=60°，AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∵BE⊥AC，垂足为E，CF⊥AB，垂足为F，
∴E、F分别是AC、AB边的中点，
又∵点D是BC的中点，
EF=

1

2

BC，DE=

1

2

AB，DF=

1

2

AC，
∴EF=ED=DF，
∴△DEF是等边三角形；

（2）解：△DEF是等边三角形．
理由如下：∵∠A=60°，BE⊥AC，CF⊥AB，
∴∠ABE=∠ACF=90°-60°=30°，
在△ABC中，∠BCF+∠CBE=180°-60°-30°×2=60°，
∵点D是BC的中点，BE⊥AC，CF⊥AB，
∴DE=DF=BD=CD，
∴∠BDF=2∠BCF，∠CDE=2∠CBE，
∴∠BDF+∠CDE=2（∠BCF+∠CBE）=2×60°=120°，
∴∠EDF=60°，
∴△DEF是等边三角形；

（3）解：∵∠A=60°，BE⊥AC，CF⊥AB，
∴∠ABE=∠ACF=90°-60°=30°，
∴BM=2FM=2×5=10，ME=

1

2

CM=

1

2

×4=2，
∴BE=BM+ME=10+2=12．

点评：本题主要考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，仔细分析图形并熟练掌握性质是解题的关键．