Question

【题目】如图，点E是正方形ABCD的对角线BD上一点，并且AD=DE，过点E作EF⊥BD交AB于点F.

（1）求证：AF=BE,（2）若正方形的边长为1，求BF的长度.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）2-.

【解析】

（1）先证Rt△AFD≌Rt△EFD，则EF=AF，再由正方形的性质得出∠EBF=45°，可得△BFE是等腰直角三角形，则BE=EF，即可得出结论；

（2）根据勾股定理求出BD=，由AD=DE可得BE= -1，由AF=BE，AB=1即可得BF的长度.

证明：（1）如图，连接DF，

∵正方形ABCD，

∴AB=DC=BC=AD

∴∠A=∠ ABC=∠ C=∠ ADC=90°

∵EF⊥BD

∴∠DEF=∠ BEF=90°

∴∠A=∠ DEF

在Rt△AFD与Rt△EFD中

∵AD=ED,DF=DF

∴Rt△AFD≌Rt△EFD(HL)

∴EF=AF

∵四边形ABCD是正方形

∴∠EBF=45°

∴∠BFE=90°-∠EBF=45°

∴∠EBF=∠ EFB

∴BE=EF

∴AF=BE.

（2）由（1）知，AF=EF=BE，AB=DC=BC=AD=1，

∴BD= = ，

∵AD=DE

∴BE=BD-DE=-1，

∴AF=BE=-1，

∴BF=AB-AF=1-（-1）=2-.