Question

a、b、c为实数，ac＜0，且

2

a+

3

b+

5

c=0，证明：一元二次方程ax²+bx+c=0有大于

3

4

而小于1的根．

Answer 1

解法一：设f（x）=ax²+bx+c，
则f（

3

4

）•f（1）=（

9

16

a+

3

4

b+c）（a+b+c）=

1

16

（9a+12b+16c）（a+b+c），
∵

2

a+

3

b+

5

c=0，
∴b=

- 6 a- 15 c

3

，
∴（9a+12b+16c）（a+b+c）=（9a-4

6

a-4

15

c+16c）（a-

6

3

a-

15

3

c+c）
=[（

81

-

96

）a+（

256

-

240

）c][

3- 6

3

a+

3- 15

3

c]=c²[（

81

-

96

）

a

c

+（

256

-

240

）][

3- 6

3

a

c

+

3- 15

3

]＜0，
∴b=

- 6 a- 15 c

3

，
∴f（

3

4

）•f（1）＜0，
∴一元二次方程ax²+bx+c=0有大于

3

4

而小于1的根．

解法二：证明：由条件得：

3

5

b+c=-

2

5

a，
记y=ax²+bx+c，
当x=

3

5

时，y₁=

3

5

a+

3

5

b+c=

3

5

a-

2

5

a=

3- 10

5

a     ①，
当x=1时，y₂=a+b+c=a+b+c-

1

3

（

2

a+

3

b+

5

c）=

a

3

|（

3

-

2

）-

c

a

（

5

-

3

）|②，
由于3-

10

＜0，

3

-

2

＞0，

5

-

3

＞0，-

c

a

＞0，
则y₁•y₂=

3- 10

5 3

|（

3

-

2

）a²-

c

a

（

5

-

3

）a²|＜0，
因此，方程必有一根介于

3

5

与1之间，而

3

5

＞

3

4

，
故方程有大于

3

4

而小于1的根．