题目内容
关于x的方程x2-2（k-1）x+k2=0的两实根x1、x2满足|x1+x2|=x1x2-1．点A为直线y=x上一点，过A作AC⊥x轴交x轴于C，交双曲线
于B，求OB2-AB2的值．
【答案】分析：根据一元二次方程根与系数的关系得出x1+x2=2k-2，x1x2=k2，再根据|x1+x2|=x1•x2-1，得出关于k的方程，解方程得出k的值，再利用勾股定理得出OB2=OC2+BC2，AB2=（AC+BC） 2=OC2+BC2+2OC•BC，得出OB2-AB2=-2OC•BC求出即可．
解答：
解：由根与系数的关系，得x1+x2=2k-2，x1x2=k2，
当2k-2≥0时，
∵|x1+x2|=x1•x2-1，
∴2k-2=k2-1，
∴k=1（此时不合题意），
当2k-2＜0时，
∵|x1+x2|=x1•x2-1，
∴2-2k=k2-1，
∴k1=1（舍去），k2=-3．
故k=-3，
根据题意画出图象：
∵点A为直线y=x上一点，
∴AC=CO，
∵OB2=OC2+BC2，AB2=（AC+BC） 2=OC2+BC2+2OC•BC，
∴OB2-AB2=OC2+BC2-（OC2+BC2+2OC•BC）=-2OC•BC=-2k=6．
点评：本题主要考查了一元二次方程根与系数关系的应用以及一次函数与反比例函数的综合应用，关键是列出关于k的方程以及利用勾股定理得出OB2-AB2=-2OC•BC．
解答：
解：由根与系数的关系，得x1+x2=2k-2，x1x2=k2，当2k-2≥0时，
∵|x1+x2|=x1•x2-1，
∴2k-2=k2-1，
∴k=1（此时不合题意），
当2k-2＜0时，
∵|x1+x2|=x1•x2-1，
∴2-2k=k2-1，
∴k1=1（舍去），k2=-3．
故k=-3，
根据题意画出图象：
∵点A为直线y=x上一点，
∴AC=CO，
∵OB2=OC2+BC2，AB2=（AC+BC） 2=OC2+BC2+2OC•BC，
∴OB2-AB2=OC2+BC2-（OC2+BC2+2OC•BC）=-2OC•BC=-2k=6．
点评：本题主要考查了一元二次方程根与系数关系的应用以及一次函数与反比例函数的综合应用，关键是列出关于k的方程以及利用勾股定理得出OB2-AB2=-2OC•BC．
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