Question

（2012•海门市模拟）如图，四边形OABE中，∠AOE=∠BEO=90°，OA=3，OE═4，BE=1，点C，D是边OE（与端点O、E不重合）上的两个动点且CD=1．
（1）求边AB的长；
（2）当△AOD与△BCE相似时，求OD的长；
（3）连接AC与BD相交于点P，设OD=x，△PDC的面积记为y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）作BF⊥AO，构造矩形OEBF和直角三角形AFB，利用勾股定理求出AB的长；
（2）分两种情况讨论：①当

AO

BE

=

OD

CE

时，△AOD∽△BEC；②当

AO

CE

=

OD

BE

时，△AOD∽△CEB；然后根据相似三角形的性质解答；
（3）作PH⊥OE于H．可得△PHC∽△AOC，△PHD∽△BED，然后根据相似三角形的性质，求出函数解析式．

解答：解：（1）作BF⊥AO，则四边形OEBF为矩形，
∵BF=OE=4，AF=AO-BE=3-1=2；
∴在Rt△AFB中，AB=

AF2+BF2

=

22+42

=2

5

．

（2）设OD=a，则CE=4-a-1=3-a，
∵∠AOD=∠BEC=90°，
①当

AO

BE

=

OD

CE

时，△AOD∽△BEC，
∴

3

1

=

a

3-a

，
∴a=

9

4

；
②当

AO

CE

=

OD

BE

时，△AOD∽△CEB，
∴

3

3-a

=

a

1

，
∴a²-3a+3=0，此方程无实数根，
综上所述，OD=

9

4

．

（3）作PH⊥OE于H．
可得，△PHC∽△AOC，△PHD∽△BED，
∴

PH

AO

=

CH

CO

，

PH

3

=

CH

x+1

，CH=

1

3

PH（x+1），
∵

PH

BE

=

DH

DE

，
∴

PH

1

=

DH

4-x

，
∴DH=PH（4-x），
∴CD=CH+DH=

1

3

PH（x+1）+PH（4-x）=1，
∴PH=

3

13-2x

．
∴y=

1

2

CD•PH=

1

2

×1×

3

13-2x

=

3

26-4x

（0＜x＜3）．

点评：本题考查了相似形综合题，涉及勾股定理、矩形的判定和性质、相似三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．