Question

在一个边长为a（单位：cm）的正方形ABCD中．
（1）如图1，如果N是AD中点，F为AB中点，连接DF，CN．
①求证：DF=CN；
②连接AC．求DH：HE：EF的值；
（2）如图2，如果点E、M分别是线段AC、CD上的动点，假设点E从点A出发，以

2

cm/s速度沿AC向点C运动，同时点M从点C出发，以1cm/s的速度沿CD向点D运动，运动时间为t（t＞0），连结DE并延长交正方形的边于点F，过点M作MN⊥DF于H，交AD于N．判断命题“当点F是边AB中点时，则点M是边CD的三等分点”的真假，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）①证明△ADF≌△DNC，即可得到DF=MN；
②利用勾股定理和相似三角形的判定与性质以及直角三角形面积公式分别求出DH，EF，DF的长，进而得出EH的长，即可得出DH：HE：EF的值；
（2）首先证明△AFE∽△CDE，利用比例式求出时间t=

1

3

a，进而得到CM=

1

3

a=

1

3

CD，所以该命题为真命题．

解答：（1）①证明：∵∠DNC+∠ADF=90°，∠DNC+∠DCN=90°，
∴∠ADF=∠DCN，
在△ADF与△DNC中，

∠DAF=∠CDN=90° AD=CD ∠ADF=∠DCN

，
∴△ADF≌△DNC（ASA），
∴DF=MN；

②解：∵AD=CD=AB=a，N，F分别是AD，AB中点，
∴DN=AF=

a

2

，
∴DF=

5

2

a，
∵AF∥CD，
∴△AFE∽△CDE，
∴

EF

DE

=

AF

CD

=

1

2

，
∴

EF

DF

=

1

3

，
∴EF=

5

6

a，
∵DH×CN=DN×CD，
∴DH=

DN×CD

NC

=

1 2 a×a

5 2 a

=

5

5

a，
∴EH=

5

2

a-

5

6

a-

5

5

a=

2 5

15

a，
∴DH：HE：EF=

5

5

a：

2 5

15

a：

5

6

a=6：4：5；

（2）解：该命题是真命题．
理由如下：当点F是边AB中点时，则AF=

1

2

AB=

1

2

CD．
∵AB∥CD，
∴△AFE∽△CDE，
∴

AE

EC

=

AF

CD

=

1

2

，
∴AE=

1

2

EC，则AE=

1

3

AC=

2

3

a，
∴t=

AE

2

=

1

3

a．
则CM=1•t=

1

3

a=

1

3

CD，
∴点M为边CD的三等分点．

点评：此题主要考查了几何综合题和相似三角形、全等三角形、正方形、命题证明等知识点．解题要点是：（1）明确动点的运动过程；（2）明确运动过程中，各组成线段、三角形之间的关系．