Question

如图，已知矩形OABC的两边OA，OC分别在x轴，y轴的正半轴上，且点B（4，3），反比例函数y=

k

x

图象与BC交于点D，与AB交于点E，其中D（1，3）．
（1）求反比例函数的解析式及E点的坐标；
（2）若矩形OABC对角线的交点为F，请判断点F是否在此反比例函数的图象上，并说明理由．
（3）若AD与BO的交点为Q，请判断点Q是否在此反比例函数的图象上，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）把已知点代入反比例函数的解析式，求出其解析式；再进一步把x=4代入，从而求出E点的坐标．
（2）利用矩形及相似三角形的性质，判断出F点与反比例函数图象的关系．
（3）分别求直线BO与AD解析式，求出交点即可．

解答：解：（1）把D（1，3）代入y=

k

x

，得3=

k

1

，
∴k=3．
∴y=

3

x

．
∴当x=4时，y=

3

4

，
∴E（4，

3

4

）．

（2）点F在反比例函数的图象上．
理由如下：
连接AC，OB交于点F，过F作FH⊥x轴于H．
∵四边形OABC是矩形，
∴OF=FB=

1

2

OB．
又∵∠FHO=∠BAO=90°，∠FOH=∠BOA，
∴△OFH∽△OBA．
∴

OH

OA

=

FH

BA

=

OF

OB

=

1

2

，
∴OH=2，FH=

3

2

．
∴F（2，

3

2

）．
即当x=2时，y=

3

x

=

3

2

，
∴点F在反比例函数y=

3

x

的图象上．

（3）直线OB与AD所在直线分别为：
y=kx，图象过（4，3）点，∴y=

3

4

x，
y=ax+b．过点（4，0），（1，3），
∴

a+b=3 4a+b=0

，
解得：

a=-1 b=4

，
∴y=-x+4，

y= 3 4 x y=-x+4

，
解得：x=

16

7

，y=

12

7

，
代入解析式：
当x=

16

7

时，y=

3

x

=

21

16

，
∴（

16

7

，

12

7

）不在此反比例函数的图象上．

点评：此题主要考查了反比例函数的综合应用，此题比较复杂，把反比例函数y=

k

x

的图象、矩形的性质及相似三角形的性质相结合，考查了学生对所学知识的综合运用能力．