Question

如图，抛物线y = ax² + bx + 4与x轴的两个交点分别为A（－4，0）、B（2，0），与y轴交于点C，顶点为D．E（1，2）为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G．

（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）在直线EF上求一点H，使△CDH的周长最小，并求出最小周长；
（3）若点K在x轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，
△EFK的面积最大？并求出最大面积．

Answer 1

（1）   顶点D的坐标为（－1，）
（2）H（，）
（3）K（－，）

解析（1）由题意，得 解得，b =－1．
所以抛物线的解析式为，顶点D的坐标为（－1，）．
（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M．因为EF垂直平分BC，即C关于直线EG的对称点为B，连结BD交于EF于一点，则这一点为所求点H，使DH + CH最小，即最小为
DH + CH = DH + HB = BD =．而．
∴△CDH的周长最小值为CD + DR + CH =．
设直线BD的解析式为y = k₁x + b，则  解得，b₁ = 3．
所以直线BD的解析式为y =x + 3．
由于BC = 2，CE = BC∕2 =，Rt△CEG∽△COB，
得CE:CO = CG:CB，所以CG = 2.5，GO = 1.5．G（0，1.5）．
同理可求得直线EF的解析式为y =x +．
联立直线BD与EF的方程，解得使△CDH的周长最小的点H（，）．
（3）设K（t，），x_F＜t＜x_E．过K作x轴的垂线交EF于N．
则KN = y_K－y_N =－（t +）=．
所以S_△EFK= S_△KFN + S_△KNE =KN（t + 3）+KN（1－t）= 2KN = －t²－3t + 5 =－（t +）² +．
即当t =－时，△EFK的面积最大，最大面积为，此时K（－，）．