Question

如图，已知直线l₁的解析式为y=3x+6，直线l₁与x轴，y轴分别相交于A，B两点，直线l₂经过B，C两点，点C的坐标为（8，0），又已知点P在x轴上从点A向点C移动，点Q在直线l₂从点C向点B移动．点P，Q同时出发，且移动的速度都为每秒1个单位长度，设移动时间为t秒（1＜t＜10）．
（1）求直线l₂的解析式；
（2）设△PCQ的面积为S，请求出S关于t的函数关系式；
（3）试探究：当t为何值时，△PCQ为等腰三角形？

Answer 1

分析：（1）因为l₁过点B，所以代入直线l₁的解析式求得点B的坐标，又因为直线l₂经过B，C两点，所以将点B、C的坐标代入直线y=kx+b（k≠0），列方程组即可求得；
（2）过Q作QD⊥x轴于D，则△CQD∽△CBO，得出

QD

BO

=

QC

BC

，由题意，知OA=2，OB=6，OC=8，BC=

OB2+OC2

=10，得出

QD

6

=

t

10

，故QD=

3

5

t，即可求得函数解析式；
（3）要想使△PCQ为等腰三角形，需满足CP=CQ，或QC=QP，或PC=PQ．

解答：解：（1）由题意，知B（0，6），C（8，0），
设直线l₂的解析式为y=kx+b（k≠0），则

8k+b=0 b=6

，
解得k=-

3

4

，b=6，
则l₂的解析式为y=-

3

4

x+6；

（2）解法一：如图，过P作PD⊥l₂于D，
∵∠PDC=∠BOC=90°，∠DCP=∠OCB
∴△PDC∽△BOC
∴

PD

BO

=

PC

BC

由题意，知OA=2，OB=6，OC=8
∴BC=

OB2+OC2

=10，PD=10-t
∴

PD

6

=

10-t

10

，
∴PD=

3

5

（10-t）
∴S_△PCQ=

1

2

CQ•PD=

1

2

t•

3

5

（10-t）=-

3

10

t²+3t；

解法二：如图，过Q作QD⊥x轴于D，
∵∠QDC=∠BOC=90°，∠QCD=∠BCO
∴△CQD∽△CBO
∴

QD

BO

=

QC

BC

由题意，知OA=2，OB=6，OC=8
∴BC=

OB2+OC2

=10
∴

QD

6

=

t

10

∴QD=

3

5

t
∴S_△PCQ=

1

2

PC•QD=

1

2

（10-t）•

3

5

t=-

3

10

t²+3t；

（3）∵PC=10-t，CQ=t，
要想使△PCQ为等腰三角形，需满足CP=CQ，或QC=QP，或PC=PQ，
∴当CP=CQ时，由题10-t=t，得t=5（秒）；
当QC=QP时，

QC

BC

=

1 2 PC

OC

，即

t

10

=

1 2 (10-t)

8

解得t=

50

13

（秒）；
当PC=PQ时，

1 2 CQ

OC

=

PC

BC

，即

1 2 t

8

=

10-t

10

，解得t=

80

13

（秒）；
即t=5或

50

13

或

80

13

．

点评：此题考查了一次函数与三角形的综合知识，要注意待定系数法的应用，要注意数形结合思想的应用．