Question

【题目】已知在平面直角坐标系中点A（a，b），点B（a，0）的坐标满足|a-b|+（a-4）2=0

（1）求点A、点B的坐标；

（2）已知点C（0，b），点P从B点出发沿x轴负方向以1个单位每秒的速度移动，同时，点Q从C点出发，沿y轴负方向以1.5个单位每秒的速度移动．某一时刻，如图①所示，且S阴=S四边形OCAB，求点P移动的时间；

（3）在（2）的条件和结论下，如图②所示，设AQ交轴于点M，作∠ACO、∠AMB的角平分线交于点N，求此时的值．

Answer 1

【答案】（1）A（4，6），B（4，0）；（2）6；（3）.

【解析】

（1）根据非负数的性质，根据方程组即可解决问题；

（2）设点P的运动时间为t秒．则BP=t，CQ=1.5t，QH=AC=4，AH=CQ=1.5t，根据S阴=S△APB+S矩形OBHQ-S△AQH，构建方程即可解决问题；

（3）由（2）可知，BP=t=6=AB，推出△ABP为等腰直角三角形，推出∠APB=45°，由CN平分∠ACQ，MN平分∠AMB，推出∠ACN=×90°=45°，∠BMN=∠AMB，推出∠APB=∠ACN=45°，过点N作NG∥AC，则∠CNG=∠ACN=45°=∠APB，可得∠GNM=∠NMB=∠AMB，推出∠CNM-∠APB=∠CNM-45°=∠CNM-∠CNG=∠GNM=∠NMB=∠AMB，即可得出结论．

（1）∵|a-b|+（a-4）2=0

∴|a-b|≥0，（a-4）2≥0，

∴，

解得，

∴A（4，6），B（4，0）．

（2）由（1）可知，C（0，6），四边形OCAB是矩形，AC=4，AB=6，

过点Q作QH⊥AB于H．

设点P的运动时间为t秒．则BP=t，CQ=1.5t，QH=AC=4，AH=CQ=1.5t，

S阴=S△APB+S矩形OBHQ-S△AQH

=×6t+4（1.5t-6）-×4×1.5t

=6t-24，

∵S阴=S四边形OCAB，

∴6t-24=×4×6，

∴t=6．

（3）由（2）可知，BP=t=6=AB，

∴△ABP为等腰直角三角形，

∴∠APB=45°，

∵CN平分∠ACQ，MN平分∠AMB，

∴∠CN=×90°=45°，∠BMN=∠AMB，

∴∠APB=∠ACN=45°，

过点N作NG∥AC，则∠CNG=∠ACN=45°=∠APB

∵AC∥x轴，NG∥x轴，

∴∠GNM=∠NMB=∠AMB，

∴∠CNM-∠APB=∠CNM-45°=∠CNM-∠CNG=∠GNM=∠NMB=∠AMB，

∴=．