Question

已知

a

1+a+ab

+

b

1+b+bc

+

c

1+c+ca

=1，求证：abc=1．

Answer 1

分析：设abc=k，ab+a+1=u，bc+b+1=v，ac+c+1=w，然后将各式分别乘以c、a、b可得出关系式，然后将所给分式两边同乘以uvw再得出一个关系式，从而联立可得出答案．

解答：解：设abc=k，ab+a+1=u，bc+b+1=v，ac+c+1=w，
两边分别乘以c，a，b得：
abc+ca+c=cu，代入abc=k并根据ac+c+1=w得到：k-1+w=cu…（1）
abc+ab+a=av，代入abc=k并根据ab+a+1=u得到：k-1+u=av…（2）
abc+bc+b=bw，代入abc=k并根据bc+b+1=v得到：k-1+v=bw…（3）
已知：

a

u

+

b

v

+

c

w

=1，两边同乘以uvw得：avw+buw+cuv=uvw
（1）两边乘以v；（2）两边乘以w；（3）两边乘以u相加可得：
（k-1）（u+v+w）+uv+vw+uw=avw+buw+cuv=uvw…（4）
（1）×（2）×（3）三式得：（k-1+u）（k-1+v）（k-1+w）=abcuvw=kuvw，
∴（k-1）³+（u+v+w）（k-1）²+（uv+vw+uw）（k-1）-uvw（k-1）=0，
（k-1）[（k-1）²+（u+v+w）（k-1）+（uv+vw+uw）-uvw]=0，
与（4）比较可得：（k-1）³=0，
∴k=1，
即：abc=1．

点评：本题考查分式的化简，难度较大，关键是设出abc=k，ab+a+1=u，bc+b+1=v，ac+c+1=w，注意在证明的时候要向结论靠拢．