Question

试写出所有3个连续正整数立方和的最大公约数，并证明．

Answer 1

解：设三个连续的正整数的立方和为f（n）=（n-1）³+n³+（n+1）³
=3n³+6n
=3n³-3n+9n
=3n（n-1）（n+1）+9n
又∵当n≥2时，（n-1）n（n+1）是三个连续的整数的积，
所以必是3的倍数，所以3n（n-1）（n+1）能被9整除．
∴f（n）能被9整除
∴三个连续的正整数的立方和的最大公约数是9．
分析：可设中间的正整数为n，表示出3个连续正整数立方和，进而解答．
点评：解决本题的关键是利用完全平方公式，以及单项式乘多项式的法则，得到3个连续正整数立方和．难点在于把得到的立方和进行整理，整理成都含有某个数的形式．