题目内容
（2013•闸北区二模）已知：如图，△ABC中，点D、E、F分别在边BC、CA、AB上，| AF |
| FB |
| BD |
| DC |
| AE |
| EC |
（1）若BE平分∠ABC，试说明四边形DBFE的形状，并加以证明；
（2）若点G为△ABC的重心，且△BCG与△EFG的面积之和为20，求△BCG的面积．
分析：（1）由△ABC中，
=
=
，可得FE∥BC，DE∥AB，即可判定四边形DBFE是平行四边形，又由BE平分∠ABC，可证得BF=EF，即可判定四边形DBFE是菱形；
（2）由FE∥BC，可得△EFG∽△BCG，又由相似三角形面积的比等于相似比的平方，可得
=（
）2，然后由点G为△ABC的重心，可得FG：GC=1：2，可得S△BCG=4S△EFG．又由△BCG与△EFG的面积之和为20，即可求得答案．
| AF |
| FB |
| BD |
| DC |
| AE |
| EC |
（2）由FE∥BC，可得△EFG∽△BCG，又由相似三角形面积的比等于相似比的平方，可得
| S△EFG |
| S△BCG |
| FG |
| GC |
解答：解：（1）四边形DBFE是菱形．…（1分）
证明：∵△ABC中，
=
=
，
∴FE∥BC，DE∥AB，…（2分）
∴四边形DBFE是平行四边形，…（1分）
又∵BE平分∠ABC，
∴∠FBE=∠DBE，
∵FE∥BC，
∴∠FEB=∠DBE，…（1分）
∴∠FBE=∠FEB，…（1分）
∴BF=EF，…（1分）
∴四边形DBFE是菱形；
（2）∵FE∥BC，
∴△EFG∽△BCG，…（1分）
∴
=（
）2，…（1分）
∵点G为△ABC的重心，
∴
=
，…（1分）
∴
=（
）2=
，
∴S△BCG=4S△EFG．…（1分）
∵S△EFG+S△BCG=20，
∴S△BCG=16．…（1分）
证明：∵△ABC中，
| AF |
| FB |
| BD |
| DC |
| AE |
| EC |
∴FE∥BC，DE∥AB，…（2分）
∴四边形DBFE是平行四边形，…（1分）
又∵BE平分∠ABC，
∴∠FBE=∠DBE，
∵FE∥BC，
∴∠FEB=∠DBE，…（1分）
∴∠FBE=∠FEB，…（1分）
∴BF=EF，…（1分）
∴四边形DBFE是菱形；
（2）∵FE∥BC，
∴△EFG∽△BCG，…（1分）
∴
| S△EFG |
| S△BCG |
| FG |
| GC |
∵点G为△ABC的重心，
∴
| FG |
| GC |
| 1 |
| 2 |
∴
| S△EFG |
| S△BCG |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
∴S△BCG=4S△EFG．…（1分）
∵S△EFG+S△BCG=20，
∴S△BCG=16．…（1分）
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、三角形重心的性质以及菱形的判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
练习册系列答案
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