Question

如图，圆O的直径为5，在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC∶CA＝4∶3，点P在半圆弧AB上运动(不与A、B重合)，过C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点

(1)求证：AC·CD＝PC·BC；

(2)当点P运动到AB弧中点时，求CD的长；

(3)当点P运动到什么位置时，△PCD的面积最大？并求这个最大面积S．

Answer 1

解：(1)∵AB为直径，∴∠ACB＝90°．又∵PC⊥CD，∴∠PCD＝90°．

而∠CAB＝∠CPD，∴△ABC∽△PCD．∴．

∴AC·CD＝PC·BC；

 

(2)当点P运动到AB弧中点时，过点B作BE⊥PC于点E．

∵P是AB中点，∴∠PCB＝45°，CE＝BE＝BC＝2．

又∠CAB＝∠CPB，∴tan∠CPB＝tan∠CAB＝．∴PE＝＝＝．

从而PC＝PE＋EC＝．由(1)得CD＝PC＝

(3)当点P在AB上运动时，S_△PCD＝PC·CD．由(1)可知，CD＝PC．

∴S_△PCD＝PC²．故PC最大时，S_△PCD取得最大值；

而PC为直径时最大，∴S_△PCD的最大值S＝×5²＝．