Question

已知二次函数y=（x-1）²-4的图象如图所示．
（1）求抛物线与x轴交点A、B的坐标（点A在点B的左侧），及与y轴的交点C的坐标；
（2）设抛物线的顶点为点D，求△BCD的面积S；
（3）在抛物线上是否存在点E，使以A、B、C、E为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出点E的坐标，并说明理由；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）0=（x-1）²-4，
解得x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0）B（3，0），
当x=0时，y=-3，
∴C（0，-3）；

（2）∵y=（x-1）²-4，
∴D（1，-4），
∴BC=，BD=，CD=，
∴BC²+CD²=BD²，
∴∠BCD=90°，
∴△BCD的面积S=××=3；

（3）∵A、B、C、E为顶点的四边形是梯形，
∴①当AB∥CE时，
∴点E的纵坐标为-3，
∴-3=（x-1）²-4，
解得x₁=2，x₂=0，
∴点E的坐标为（2，-3）．
②当AC∥BE时，
由B，C，的坐标可求直线BC的解析式为：y=x-3，
故直线AE的解析式为：y=x+b，
将A（-1，0）代入得出：y=x+1，
将两函数联立得出：x+1=（x-1）²-4，
解得：x₁=-1，x₂=4，
当x=4时y=5，
故E点坐标为：（4，5），
③当AE∥BC时，直线AC的解析式为：y=-3x-3，
直线BE的解析为：y=-3x+9，
将两函数联立得出：-3x+9=（x-1）²-4，
解得：x₁=-4，x₂=3，
当x=-4时y=21，
故E点坐标为：（-4，21），
综上所述：E点坐标为：（2，-3），（4，5），（-4，21）．
分析：（1）y=0，即可求得抛物线与x轴的交点坐标；x=0，可求得抛物线与y轴的交点坐标；
（2）易得△BCD为直角三角形，根据三角形的面积公式即可求得△BCD的面积S；
（3）利用当AB∥CE时，②当AC∥BE时，③当AE∥BC时分别求出即可．
点评：用到的知识点为：抛物线与x轴的交点的纵坐标为0，与y轴交点的横坐标为0；平行与x轴的直线上的点的纵坐标相等．