Question

【题目】如图，正方形ABCD中，AB＝3cm，以B为圆心，1cm为半径画圆，点P是⊙B上一个动点，连接AP，并将AP绕点A逆时针旋转90°至AP'，连接BP'，在点P移动的过程中，BP'长度的取值范围是_____cm．

Answer 1

【答案】（3-1）cm≤BP≤（3+1）．

【解析】

通过画图发现，点P′的运动路线为以D为圆心，以1为半径的圆，可知：当P′在对角线BD上时，BP′最小，先证明△PAB≌△P′AD，则P′D=PB=1，再利用勾股定理求对角线BD的长，则得出BP′的长．

如图，当P′在对角线BD上时，BP′最小；当P′在对角线BD的延长线上时，BP′最大．

连接BP，

①当P′在对角线BD上时，

由旋转得：AP=AP′，∠PAP′=90°，

∴∠PAB+∠BAP′=90°，

∵四边形ABCD为正方形，

∴AB=AD，∠BAD=90°，

∴∠BAP′+∠DAP′=90°，

∴∠PAB=∠DAP′，

∴△PAB≌△P′AD，

∴P′D=PB=1，

在Rt△ABD中，∵AB=AD=3，

由勾股定理得：BD==3，

∴BP′=BD-P′D=3-1，

即BP′长度的最小值为（3-1）cm．

②当P′在对角线BD的延长线上时，

同理可得BD==3，

∴BP′=BD+P′D=3+1，

即BP′长度的最大值为（3+1）cm．

∴BP'长度的取值范围是（3-1）cm≤BP≤（3+1）cm

故答案为：（3-1）cm≤BP≤（3+1）．