Question

如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，CE切⊙O于点C，AE⊥CE且交⊙O于点D．
求证：（1）DC=BC；
（2）BC²=AB•DE．

Answer 1

分析：（1）连接CO，利用切线的性质得出∠E=∠ECO=90°，AE∥CO，进而得出弧DC=弧BC，即可得出答案；
（2）由弦切角定理知，∠ECD=∠DAC=∠CAB，又∠ACB=∠DEC，则由两个对应角相等的三角形是相似三角形知，△DCE∽△BCA，根据相似三角形的性质知，

DE

BC

=

DC

AB

，而DC=BC，故有BC²=AB•DE．

解答：证明：（1）连接OC，
∵CE切圆O于点C，
∴∠ECO=90°，
∴∠E=∠ECO=90°，
∴AE∥CO，
∴∠DAC=∠ACO，
∴弧DC=弧BC，
∴DC=BC．

（2）∵弧DC=弧BC，CE切⊙O于C，
∴∠DCE=∠BAC．
又AB是⊙O直径，
∴∠CED=∠ACB=90°．
∴△DCE∽△BCA即

DE

BC

=

DC

AB

，而DC=BC．
∴BC²=AB•DE．

点评：本题利用了直径对的圆周角是直角，平行线的判定和性质，等边对等角，同圆的等角对的弧相等和弧对的弦相等，弦切角定理，相似三角形的判定和性质求解．