Question

（2013•郴州模拟）如图，已知AB=10，C是线段AB上一动点，分别以AC、BC为斜边作直角△ACD、直角△BCE，且∠A=60°，∠B=30°，连接DE，M是DE的中点．
（1）当C运动到AB的中点时，△ACD、△BCE和△DCE有什么关系？
（2）当C运动到什么位置时，△ACD、△BCE和△DCE相似？
（3）当C运动到什么位置时，△DCE有最大面积，最大面积是多少？
（4）当C在AB上运动时，M点怎样运动，运动的距离是多少？

Answer 1

分析：根据直角三角形两锐角互余求出∠ACD和∠BCE，然后求出∠DCE=90°，（1）根据中点定义可得AC=BC，然后求出AD=CE，CD=BE，再利用“边角边”即可证明三个三角形全等；
（2）设AC=x，表示出CD、BC和CE，然后根据两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似分情况列式求解即可；
（3）根据直角三角形的面积公式列式整理，然后利用二次函数的最值问题解答；
（4）延长AD、BE相交于点F，求出∠AFB=90°并得到四边形CDFE是矩形，连接CF，根据矩形的性质可得点M是CF的中点，从而得到点M的运动轨迹是△ABF的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得点M的运动距离=

1

2

AB．

解答：解：∵△ACD、△BCE都是直角三角形，∠A=60°，∠B=30°，
∴∠ACD=90°-∠A=90°-60°=30°，
∠BCE=90°-∠B=90°-30°=60°，
∴∠DCE=180°-30°-60°=90°，
（1）点C运动到AB的中点时，AC=BC=

1

2

AB=

1

2

×10=5，
∴AD=CE=

1

2

AC=

1

2

×5=2.5，CD=BE=

3

2

AC=

5 3

2

，
又∵∠ADC=∠DCE=∠BEC=90°，
∴△ACD≌△BCE≌△DCE；

（2）设AC=x，则CD=

3

2

x，
BC=AB-AC=10-x，
CE=

1

2

BC=

1

2

（10-x），
∵△ACD、△BCE和△DCE相似，
∴

CD

CE

=

AD

CD

或

CD

CE

=

CD

AD

，
即

3 2 x

1 2 (10-x)

=

3

3

或

3 2 x

1 2 (10-x)

=

3

，
解得x=2.5或x=5；

（3）△DCE的面积=

1

2

CD•CE，
=

1

2

•

3

2

x•

1

2

（10-x），
=-

3

8

（x-5）²+

25 3

8

，
∴当x=5，即点C运动到AC=5时，△DCE有最大面积，最大面积是

25 3

8

；

（4）延长AD、BE相交于点F，
∵∠A=60°，∠B=30°，
∴∠AFB=180°-60°-30°=90°，
∴四边形CDFE是矩形，
连接CF，∵点M是DE的中点，
∴点M也是CF的中点，
∴点M的运动轨迹是△ABF的中位线，
点M运动的距离=

1

2

AB=

1

2

×10=5．

点评：本题是相似形综合题，主要利用了直角三角形两锐角互余的性质，全等三角形的判定，相似三角形的性质，二次函数的最值问题，三角形的中位线定理，（4）判断出点M的运动轨迹是三角形的中位线是解题的关键．