Question

如图，抛物线y=-

4

9

x²通过平移得到抛物线m，抛物线m经过点B（6，0）和O（0，0），它的顶点为A，以O为圆心，OA为半径作圆，在第四象限内与抛物线y=-

4

9

x²交于点C，连接AC，则图中阴影部分的面积为

25π

2

-12

．

Answer 1

分析：先求出抛物线m的解析式，得到顶点A的坐标，求出OA的长度，根据抛物线的对称性，可知阴影部分的面积=半圆的面积-△AOC的面积．

解答：解：∵抛物线m经过点B（6，0）和O（0，0），
∴抛物线m的对称轴为直线x=3，
∵抛物线y=-

4

9

x²通过平移得到抛物线m，
∴设抛物线m的解析式为y=-

4

9

（x-3）²+k，
将O（0，0）代入，得-

4

9

（0-3）²+k=0，
解得k=4，
∴抛物线m的解析式为y=-

4

9

（x-3）²+4，顶点A的坐标为（3，4），
由勾股定理，得OA=5．
连接OA、OC，由圆的对称性或垂径定理，可知C的坐标为（3，-4），
阴影部分的面积=半圆的面积-△AOC的面积=

1

2

•π•5²-

1

2

×8×3=

25π

2

-12．
故答案为：

25π

2

-12．

点评：本题考查了二次函数的问题，根据二次函数的性质求出平移后的抛物线的对称轴的解析式，并对阴影部分的面积进行转换是解题的关键．