Question

如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BAD=90°，AB为⊙O的直径．
（1）若AD=2，AB=BC=8，连接OC、OD．
①求△COD的面积；
②试判断直线CD与⊙O的位置关系，说明理由．
（2）若直线CD与⊙O相切于F，AD=x（x＞0），AB=8．试用x表示四边形ABCD的面积S，并探索S是否存在最小值，写出探索过程．

Answer 1

【答案】分析：（1）①根据S_△COD=S_梯形ABCD-S_△AOD-S_△BOC来解答；
②求直线CD与⊙O的圆心间的距离，然后根据此距离判断直线CD与⊙O的位置关系；
（2）根据勾股定理求得关于x的方程，然后求二次函数的最值即可．
解答：解：（1）①S_△COD=S_梯形ABCD-S_△AOD-S_△BOC
=
==40-4-16=20．
（或先证明△COD是直角三角形进而求其面积．）
②过D作DE⊥BC，E是垂足，从而四边形ABED是矩形．
BE=AD=2，CE=6，DE=AB=8．
在Rt△CDE中，CD=10．过O作OF⊥CD于F，
由S_△COD==20，可得OF=4，
表明点O到CD的距离等于⊙O的半径，故直线CD与⊙O相切；

（2）在四边形ABCD中，
∵AD=x＞0，设BC=y，则CD=x+y，CE=|y-x|，
∴在Rt△CDE中，根据勾股定理，得
（y-x）²+64=（x+y）²，于是，x＞0．
进而，x＞0．
∵x＞0，，
∴当，x=4时，有最小值8，从而S有最小值32．
点评：本题主要考查的是二次函数的最值、直线与圆的位置关系．