题目内容
如图，在直角坐标系xoy中，O是坐标原点，点A在x正半轴上，OA=
cm，点B在y轴的正半轴上，OB=12cm，动点P从点O开始沿OA以
cm/s的速度向点A移动，动点Q从点A开始沿AB以4cm/s的速度向点B移动，动点R从点B开始沿BO以2cm/s的速度向点O移动．如果P、Q、R分别从O、A、B同时移动，移动时间为t（0＜t＜6）s．（1）求∠OAB的度数．
（2）以OB为直径的⊙O′与AB交于点M，当t为何值时，PM与⊙O′相切？
（3）写出△PQR的面积S随动点移动时间t的函数关系式，并求s的最小值及相应的t值．
（4）是否存在△APQ为等腰三角形？若存在，求出相应的t值；若不存在请说明理由．
【答案】分析：（1）在Rt△OAB中，已知了OA、OB的长，即可求出∠OAB的正切值，由此可得到∠OAB的度数；
（2）连接O′M，当PM与⊙O′相切时，PM、PO同为⊙O′的切线，易证得△OO′P≌△MO′P，则∠OO′P=∠MO′P；在（1）中易得∠OBA=60°，即△O′BM是等边三角形，由此可得到∠BO′M=∠PO′M=∠PO′O=60°；在Rt△OPO′中，根据∠PO′O的度数及OO′的长即可求得OP的长，已知了P点的运动速度，即可根据时间=路程÷速度求得t的值；
（3）过Q作QE⊥x轴于E，在Rt△AQE中，可用t表示出AQ的长，进而根据∠OAB的度数表示出QE、AE的长，由S△PQR=S△OAB-S△OPR-S△APQ-S△BRQ即可求得S、t的函数关系式；根据所得函数的性质及自变量的取值范围即可求出S的最小值及对应的t的值；
（4）由于△APQ的腰和底不确定，需分类讨论：
①AP=AQ，可分别用t表示出两条线段的长，然后根据它们的等量关系求出此时t的值；
②PQ=AQ，过点Q作QD⊥x轴于D，根据等腰三角形三线合一的性质知：PA=2AD；可分别用t表示出PA、AD的长，然后根据它们的等量关系列方程求解；
③AP=PQ，过点Q做QH⊥AQ于H，方法同②．
解答：
解：（1）在Rt△AOB中：
tan∠OAB=
，
∴∠OAB=30°．
（2）如图，连接O′P，O′M．
当PM与⊙O′相切时，有：
∠PMO′=∠POO′=90°，
△PMO′≌△POO′．
由（1）知∠OBA=60°，
∵O′M=O′B，
∴△O′BM是等边三角形，
∴∠BO′M=60°．
可得∠OO′P=∠MO′P=60°．
∴OP=OO′•tan∠OO′P
=6×tan60°=
．
又∵OP=
t，
∴
t=
，t=3．
即：t=3时，PM与⊙O‘相切．
（3）如图，过点Q作QE⊥x于点E．
∵∠BAO=30°，AQ=4t，
∴QE=
AQ=2t，
AE=AQ•cos∠OAB=4t×
．
∴OE=OA-AE=
-
t．
∴Q点的坐标为（
-
t，2t），
S△PQR=S△OAB-S△OPR-S△APQ-S△BRQ
=
=
=
． （0＜t＜6）
当t=3时，S△PQR最小=
；
（4）分三种情况：如图
①当AP=AQ1=4t时，
∵OP+AP=
，
∴
t+4t=
．
∴t=
，
或化简为t=
-18；
②当PQ2=AQ2=4t时，
过Q2点作Q2E⊥x轴于点E．
∴PA=2AE=2AQ2•cosA=
t，
即
t+
t=
，
∴t=2；
③当PA=PQ3时，过点P作PH⊥AB于点H．
AH=PA•cos30°=（
-
t）•
=18-3t，
AQ3=2AH=36-6t，
得36-6t=4t，
∴t=3.6．
综上所述，当t=2或t=3.6或t=
-18时，△APQ是等腰三角形．
点评：此题考查了切线的判定、全等三角形的判定和性质、二次函数的应用以及等腰三角形的判定和性质等知识，需注意的是（4）题在不确定等腰三角形腰和底的情况下，要充分考虑到各种可能的情况，以免漏解．
（2）连接O′M，当PM与⊙O′相切时，PM、PO同为⊙O′的切线，易证得△OO′P≌△MO′P，则∠OO′P=∠MO′P；在（1）中易得∠OBA=60°，即△O′BM是等边三角形，由此可得到∠BO′M=∠PO′M=∠PO′O=60°；在Rt△OPO′中，根据∠PO′O的度数及OO′的长即可求得OP的长，已知了P点的运动速度，即可根据时间=路程÷速度求得t的值；
（3）过Q作QE⊥x轴于E，在Rt△AQE中，可用t表示出AQ的长，进而根据∠OAB的度数表示出QE、AE的长，由S△PQR=S△OAB-S△OPR-S△APQ-S△BRQ即可求得S、t的函数关系式；根据所得函数的性质及自变量的取值范围即可求出S的最小值及对应的t的值；
（4）由于△APQ的腰和底不确定，需分类讨论：
①AP=AQ，可分别用t表示出两条线段的长，然后根据它们的等量关系求出此时t的值；
②PQ=AQ，过点Q作QD⊥x轴于D，根据等腰三角形三线合一的性质知：PA=2AD；可分别用t表示出PA、AD的长，然后根据它们的等量关系列方程求解；
③AP=PQ，过点Q做QH⊥AQ于H，方法同②．
解答：
解：（1）在Rt△AOB中：tan∠OAB=
，∴∠OAB=30°．
（2）如图，连接O′P，O′M．
当PM与⊙O′相切时，有：
∠PMO′=∠POO′=90°，
△PMO′≌△POO′．
由（1）知∠OBA=60°，
∵O′M=O′B，
∴△O′BM是等边三角形，
∴∠BO′M=60°．
可得∠OO′P=∠MO′P=60°．
∴OP=OO′•tan∠OO′P
=6×tan60°=
．又∵OP=
t，∴
t=，t=3．即：t=3时，PM与⊙O‘相切．
（3）如图，过点Q作QE⊥x于点E．
∵∠BAO=30°，AQ=4t，
∴QE=
AQ=2t，AE=AQ•cos∠OAB=4t×
．∴OE=OA-AE=
-t．∴Q点的坐标为（
-t，2t），S△PQR=S△OAB-S△OPR-S△APQ-S△BRQ
=
=
=
． （0＜t＜6）当t=3时，S△PQR最小=
；（4）分三种情况：如图
①当AP=AQ1=4t时，
∵OP+AP=
，∴
t+4t=．∴t=
，或化简为t=
-18；②当PQ2=AQ2=4t时，
过Q2点作Q2E⊥x轴于点E．
∴PA=2AE=2AQ2•cosA=
t，即
t+t=，∴t=2；
③当PA=PQ3时，过点P作PH⊥AB于点H．
AH=PA•cos30°=（
-t）•=18-3t，AQ3=2AH=36-6t，
得36-6t=4t，
∴t=3.6．
综上所述，当t=2或t=3.6或t=
-18时，△APQ是等腰三角形．点评：此题考查了切线的判定、全等三角形的判定和性质、二次函数的应用以及等腰三角形的判定和性质等知识，需注意的是（4）题在不确定等腰三角形腰和底的情况下，要充分考虑到各种可能的情况，以免漏解．
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