题目内容
【题目】已知△ABC为等边三角形，D为直线AC上一点，延长BC至E，使CE=AD，联结BD，DE．
（1）如图（a），当D为边AC的中点时，求证：△BDE为等腰三角形．
（2）如图（b），当点D在边AC上，但不是边AC的中点时，△BDE还是等腰三角形吗?如果是，请给予证明；如果不是，说明理由．
（3）当点D在边AC的延长线上时，在图（c）中画出相应的图形，△BDE还是等腰三角形吗?请直接写出结论，不必证明．
【答案】（1）见解析；（2）△BDE还是等腰三角形，理由见解析；（3）△BDE还是等腰三角形，见解析.
【解析】
（1）根据等边三角形的性质得∠ABC＝∠ACB＝60°，由DA＝DC，CE=AD可得CD＝CE，推出∠E＝∠CDE，再利用∠DCB＝∠E＋∠CDE＝60°得到∠E＝30°，根据等边三角形性质得∠DBC＝
∠ABC＝30°，故可得△BDE为等腰三角形；
（2）作DM∥BC交AB于M，根据等边三角形的性质得∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝AC，则∠DCE＝120°，由DM∥BC得∠AMD＝60°，易得△AMD为等边三角形，则AD＝DM＝AM，而AD＝CE，则DM＝EC，然后推出MB＝DC，利用“SAS”可判断△BMD≌△DCE，则BD＝DE，即可得到 △BDE为等腰三角形；
（3）作DM∥BC交AB的延长线于M，易证△AMD为等边三角形，则AM＝AD＝MD，∠M＝60°，可得到BM＝CD，而AD＝CE，所以MD＝CE，加上∠M＝∠ECD＝60°，于是可根据“SAS”判断△BMD≌△DCE，则BD＝DE，即可得到 △BDE为等腰三角形.
（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵DA＝DC，CE=AD，
∴CD＝CE，
∴∠E＝∠CDE，
而∠DCB＝∠E＋∠CDE＝60°，
∴∠E＝30°，
∵∠DBC＝∠ABC＝30°，
∴DB＝DE，
∴△BDE为等腰三角形；
（2）△BDE为等腰三角形仍然成立．
理由如下：作DM∥BC交AB于M，如图2，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝AC，
∴∠DCE＝120°，
∵DM∥BC，
∴∠AMD＝60°，
∴∠BMD＝120°，△AMD为等边三角形，
∴AD＝DM＝AM，
∵AD＝CE，
∴DM＝EC，
∴ABAM＝ACAD，
∴MB＝DC，
在△BMD和△DCE中
∴△BMD≌△DCE（SAS），
∴BD＝DE，
∴△BDE为等腰三角形；
（3）△BDE还是等腰三角形．
理由如下：
如图3，作DM∥BC交AB的延长线于M，
易证△AMD为等边三角形，
∴AM＝AD＝MD，∠M＝60°，
∴AB＝AC，
∴BM＝CD，
∵AD＝CE，
∴MD＝CE，
∵∠ECD＝∠ACB＝60°，
∴∠M＝∠ECD
在△BMD和△DCE中
∴△BMD≌△DCE（SAS），
∴BD＝DE，
∴△BDE为等腰三角形.
