Question

【题目】如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，E为A1C1的中点，
（Ⅰ）证明：CE⊥平面AB1C1；
（Ⅱ）若AA1= ，∠BAC=30°，求点E到平面AB1C的距离．

Answer 1

【答案】解：（I）证明：∵CC1⊥平面A1B1C1 ， B1C1平面A1B1C1 ， ∴CC1⊥B1C1 ， 又B1C1⊥A1C1 ，
∴B1C1⊥平面AA1C1C，又CE平面AA1C1C，
∴B1C1⊥CE，
∵E是A1C1的中点， = ，
∴ = = ，∴ ，
∴Rt△CC1E∽RtACC1 ， ∴∠C1CE=∠CAC1 ，
∴∠CAC1+∠ACE=90°，即CE⊥AC1 ，
又AC1平面AB1C1 ， B1C1平面AB1C1 ， B1C1∩AC1=C1 ，
∴CE⊥平面AB1C1 ．
（II）∵AA1= ， = ，
∴C1E= ，AC=2 ，
∴S△ACE= =3 ，
∵∠BAC=30°，∠ACB=90°，AC=2 ，
∴AB=4，B1C1=BC=2，
∴AB1= ，B1C= ，V = = =2 ，
∴AC2+B1C2=AB12 ， ∴AC⊥Bspan>1C，
∴S = = ，
设E到平面AB1C的距离为h，则V = = ，
∵V =V ，∴2 = ，解得h= ．
点E到平面AB1C的距离为
【解析】（1）证明B1C1⊥平面ACC1A1得出B1C1⊥CE，利用相似三角形证明CE⊥AC1 ， 故而CE⊥平面AB1C1；（2）求出各线段的长，根据V =V 解出点E到平面AB1C的距离．
【考点精析】掌握直线与平面垂直的判定是解答本题的根本，需要知道一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想．