Question

4、我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如下图），此图揭示了（a+b）ⁿ（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．例如：
（a+b）⁰=1，它只有一项，系数为1；
（a+b）¹=a+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；
（a+b）²=a²+2ab+b²，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；
（a+b）³=a³+3a²b+3ab²+b³，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；
…
根据以上规律，解答下列问题：
（1）（a+b）⁴展开式共有

5

项，系数分别为

1，4，6，4，1

；
（2）（a+b）ⁿ展开式共有

n+1

项，系数和为

2ⁿ

．

Answer 1

分析：经过观察发现，这些数字组成的三角形是等腰三角形，两腰上的数都是1，从第3行开始，中间的每一个数都等于它肩上两个数字之和，展开式的项数比它的指数多1．根据上面观察的规律很容易解答问题．

解答：解：（1）展开式共有5，展开式的各项系数分别为1，4，6，4，1，
（2）展开式共有n+1项，系数和为2ⁿ．
故答案为：（1）5；1，4，6，4，1；（2）n+1，2ⁿ．

点评：本题考查完全平方式．本题主要是根据已知与图形，让学生探究，观察规律，锻炼学生的思维，属于一种开放性题目．